Macierz transponowana

Macierz transponowana (przestawiona) macierzy $A$ – macierz $A^{\mathrm {T} },$ która powstaje z danej macierzy (w ogólności prostokątnej, w szczególności jednowierszowej czy o jednej kolumnie) poprzez zamianę jej wierszy na kolumny i kolumn na wiersze. Operację tworzenia macierzy transponowanej nazywa się transpozycją (przestawianiem).

Jeżeli macierz $A$ ma wyrazy $a_{ij}$ (element $a_{ij}$ macierzy znajdujący się na przecięciu $i$-tego wiersza i $j$-tej kolumny), a macierz transponowana $A^{\mathrm {T} }$ ma wyrazy $a_{ij}^{\mathrm {T} },$ to zachodzi związek

$a_{ij}^{\mathrm {T} }=a_{ji}.$

Przykład

(1) Transponować można macierz w ogólności prostokątną, np. gdy

$A={\begin{bmatrix}2&3&1&4\\-1&2&0&1\\2&2&0&1\end{bmatrix}}$

to macierz transponowana ma postać:

$A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}2&-1&2\\3&2&2\\1&0&0\\4&1&1\end{bmatrix}}.$

(2) W szczególności wektor kolumnowy przechodzi w wektor wierszowy, np. gdy

$A={\begin{bmatrix}2\\1\\5\end{bmatrix}},$

to

$A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}2,1,5\end{bmatrix}}.$

Transpozycja macierzy symetrycznej

Macierz symetryczna – macierz ta ma identyczne wyrazy leżące symetrycznie względem swojej przekątnej głównej, np.

${\begin{bmatrix}7&0\\0&0\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}2&1&3\\1&6&7\\3&7&9\end{bmatrix}}.$

Transpozycja macierzy symetrycznej jest równa tej macierzy, tj.

$A^{\mathrm {T} }=A.$

Własności operacji transponowania

Tw. 1. Niech $A,B\in M_{n\times m}(K),$ wówczas:

• $(A^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }=A$,
• $(\alpha A)^{\mathrm {T} }=\alpha A^{\mathrm {T} },\quad \alpha \in K,$
• $(A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }.$

Tw. 2. Jeśli $A\in M_{n\times m}(K),\ \ B\in M_{m\times o}(K),$ to:

• $(AB)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }.$

Tw. 3. Dla macierzy kwadratowej: Transpozycja nie zmienia wyznacznika ani śladu macierzy, tj.

• $\det A^{\mathrm {T} }=\det A,$
• $\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} })=\operatorname {tr} (A).$

Zobacz też

• macierz hermitowska
• macierz symetryczna
• macierz unitarna
• sprzężenie hermitowskie macierzy

Bibliografia

• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.