|
|
Linia 45: |
Linia 45: |
|
(to znaczy, że liczba ''e'' to taka, że pole powierzchni pod [[hiperbola|hiperbolą]] <math> f(t)=1/t </math> od 1 do ''e'' jest równe 1). |
|
(to znaczy, że liczba ''e'' to taka, że pole powierzchni pod [[hiperbola|hiperbolą]] <math> f(t)=1/t </math> od 1 do ''e'' jest równe 1). |
|
=== Przy pomocy funkcji === |
|
=== Przy pomocy funkcji === |
|
Liczbę ''e'' można również zdefiniować jako taki argument funkcji <math>f(x)=\sqrt[x] x</math>, dla którego jej wartość jest największa. |
|
Liczbę ''e'' można również zdefiniować jako taki argument funkcji |
|
|
:<math>f(x)=x^{1/x}</math>, <math>x>0</math> |
|
|
dla którego jej wartość jest największa. |
|
|
|
|
|
== Właściwości == |
|
== Właściwości == |
Podstawa logarytmu naturalnego (inaczej liczba Eulera lub liczba Nepera) w przybliżeniu wynosi:
e ≈ 2,
|
7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174...
|
Definicja
Liczbę e można zdefiniować na kilka równoważnych sposobów.
Granica ciągu
Jako granica ciągu, e jest określana przez
- Dowód, że ten ciąg jest zbieżny
Wykażemy, że ciąg jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny.
Połóżmy . Przypomnijmy, że dla dodatnich liczb zachodzi następująca nierówność Cauchy'ego między ich średnią arytmetyczną a geometryczną:
- (*)
Rozważając oraz otrzymujemy
a stąd
- więc również i . Czyli ciąg jest niemalejący.
Połóżmy i zauważmy, że .
Z nierówności (*) zastosowanej do oraz otrzymujemy, że:
- .
Stąd a więc też .
Czyli ciąg jest niemalejący. Ponieważ , to możemy wywnioskować że ciąg jest nierosnący, a stąd
- .
Ciąg jest więc niemalejący i ograniczony z góry (np. przez ), a więc jest zbieżny.
Suma szeregu
Jako suma szeregu, e jest określana przez
gdzie n! jest silnią liczby n.
Przy pomocy całki
Liczbę e można także zdefiniować jako jedyną liczbę rzeczywistą taką że:
(to znaczy, że liczba e to taka, że pole powierzchni pod hiperbolą od 1 do e jest równe 1).
Przy pomocy funkcji
Liczbę e można również zdefiniować jako taki argument funkcji
- ,
dla którego jej wartość jest największa.
Właściwości
- Wiadomo, że e jest liczbą niewymierną (co udowodnił Leonhard Euler), a nawet przestępną (co udowodnił Charles Hermite).
- e jest podstawą takiej funkcji wykładniczej, że styczna do jej wykresu w punkcie (0, 1) ma współczynnik kierunkowy równy 1
- e jest podstawą takiego logarytmu, że styczna do wykresu funkcji logarytmicznej o tej podstawie w punkcie (1,0) ma współczynnik kierunkowy równy 1.
- pochodna funkcji
- całka funkcji , gdzie C jest dowolną stałą całkowania.
- z definicji wprost wynika, że funkcja wykładnicza o podstawie e jest odwrotną do logarytmu naturalnego:
- Z przedziału (0; 1) wylosujmy liczbę rzeczywistą (z rozkładem jednostajnym), następnie drugą, trzecią... Liczby te dodajemy (pierwsza+druga+trzecia+...) i przerywamy działanie, gdy suma przekroczy 1. Wartość oczekiwana liczby wylosowanych składników wynosi e.
- Jest jednym z elementów tak zwanej najpiękniejszej równości, wiążącej e z innymi słynnymi liczbami: jednostką urojoną i, π, jednością i zerem:
Inne wzory pozwalające obliczyć stałą e
(oba to tzw. wzory Stirlinga)
Iloczyny nieskończone
Kultura e
W celu zapamiętania kolejnych cyfr dziesiętnych liczby e tworzone są wierszyki, a nawet opowiadania (podobnie jak o liczbie π), w których długość każdego kolejnego słowa równa się kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym e:
"We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!"
- Gdzie znak "!" oznacza cyfrę 0.
Inne interpretacje liczby e
Wkładamy do pewnego banku jedną złotówkę. Załóżmy, że oprocentowanie wkładu (stopa procentowa) w skali rocznej wynosi 100%. Ale odsetki mogą być doliczane do kwoty podstawowej w różnorodny sposób. Jeśli będą obliczane po upływie roku, to na koniec roku będziemy mieli 2 złote. Jeśli będą dwa okresy kapitalizacji (czyli odsetki obliczane dwa razy w roku), to na koniec roku będziemy mieć , czyli 2,25 złotego. W przypadku kapitalizacji co kwartał otrzymamy , co w przybliżeniu wynosi 2,44 zł. Jeśli kapitalizacja odbywała się w sposób ciągły (czyli liczba okresów dąży do nieskończoności) to na koniec roku otrzymamy czyli e złotych.
Dowód niewymierności e
Używamy n-tego przybliżenia , które zapisujemy :
Szacujemy błąd
Z tego wynika, że , gdzie
Dowód przez zaprzeczenie:
Załóżmy, że jest liczbą wymierną. Czyli da się ją przedstawić w postaci gdzie .
W tym wzorze bierzemy tak duże , żeby było większe od .
Wówczas:
Mnożąc stronami przez dostajemy:
, więc
, więc
Zostały same liczby całkowite poza , która całkowita nie jest.
To dowodzi sprzeczności.
Zobacz też
Bibliografia
- Bogdan Miś: Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1989.brak strony w książce
Linki zewnętrzne
Najważniejsze stałe |
|
---|
Inne stałe |
|
---|
Tematy powiązane |
|
---|