Twierdzenie Mihăilescu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Mihăilescu (wcześniej hipoteza Catalana) - twierdzenie teorii liczb udowodnione przez Predę Mihăilescu[1] w 2002 roku, będące wcześniej hipotezą, która została postawiona w 1844 roku przez Eugène Charlesa Catalana.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Równanie

a^x-b^y=1\,

gdzie a,x,b,yliczbami naturalnymi większymi od 1, ma tylko jedno rozwiązanie: a=3, x=2, b=2, y=3.

Innymi słowy, jedyną parą następujących po sobie potęg liczb naturalnych (o wykładnikach naturalnych większych od 1) jest 8=2^3 i 9=3^2.

Przypadek szczególny[edytuj | edytuj kod]

Jedynym rozwiązaniem równania postaci 2^a=(2k+1)^b\pm1, gdzie a>1,\ b>1,\ k>0 jest k=1,\ a=3,\ b=2 (np. 2^3=3^2-1).[2]

Przypisy

  1. Preda Mihăilescu: Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture, J. reine angew. Math. 572 (2004), ss. 167-195
  2. Catalan's Conjecture: 3^2, 2^3 are the only powers that differ by 1