Równanie Pella

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Przykład równania Pella dla D=2

Równanie Pella jest równaniem diofantycznym postaci

gdzie jest liczbą całkowitą dodatnią. Równanie to dla będącego kwadratem liczby całkowitej posiada jedynie rozwiązania oraz , zaś dla niebędącego kwadratem liczby całkowitej posiada nieskończenie wiele rozwiązań.

Dla , gdzie otrzymujemy równanie , czyli , co jak łatwo zauważyć faktycznie w liczbach całkowitych posiada jedynie rozwiązania oraz .

Dla niebędącego kwadratem liczby całkowitej istnieje algorytm konstruujący nieskończenie wiele rozwiązań.

Znajdowanie rozwiązań[edytuj]

Niech będzie ciągiem ułamków łańcuchowych dla liczby . Sprawdzamy pary liczb aż któraś z nich będzie spełniać równanie Pella, taki moment nastąpi o ile nie jest kwadratem liczby całkowitej. Z tej pary liczb (oznaczmy ją jako ) można wygenerować nieskończenie wiele innych (istotne jest to, że w tej parze , w przeciwnym razie jako parę początkową można by brać parę ).

Zauważmy, że skoro , to . Oznaczmy przez i liczby spełniające równanie . Wówczas spełnione będzie równanie , gdyż współczynnik całkowity wyrażenia po lewej stronie pozostanie taki sam jak był, a współczynnik przy jedynie zmieni znak. Zatem

.

Z pewnością pary są parami różne (gdyż ), a zatem istotnie dostajemy nieskończenie wiele różnych rozwiązań równania Pella.

Przykład[edytuj]

Znajdźmy kilka rozwiązań równania Pella dla . Generowane ułamki łańcuchowe to . Już para spełnia równanie . Mamy zatem .

Podnosimy więc do kolejnych potęg wyrażenie . Mamy zatem:

  • , faktycznie
  • , faktycznie

Bibliografia[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]