Równanie Pella

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Przykład równania Pella dla D=2

Równanie Pella jest równaniem diofantycznym postaci

x^2-Dy^2=1\,

gdzie D jest liczbą całkowitą dodatnią. Równanie to dla D będącego kwadratem liczby całkowitej posiada jedynie rozwiązania (1,0) oraz (-1,0), zaś dla D nie będącego kwadratem liczby całkowitej posiada nieskończenie wiele rozwiązań.

Dla D=n^2, gdzie n\in\mathbb Z otrzymujemy równanie x^2-n^2y^2=1, czyli (x-ny)(x+ny)=1, co jak łatwo zauważyć faktycznie w liczbach całkowitych posiada jedynie rozwiązania (1,0) oraz (-1,0).

Dla D niebędącego kwadratem liczby całkowitej istnieje algorytm konstruujący nieskończenie wiele rozwiązań.

Znajdowanie rozwiązań[edytuj | edytuj kod]

Niech \frac{l_n}{m_n} będzie ciągiem ułamków łańcuchowych dla liczby \sqrt D. Sprawdzamy pary liczb (l_n,m_n) aż któraś z nich będzie spełniać równanie Pella, taki moment nastąpi o ile D nie jest kwadratem liczby całkowitej. Z tej pary liczb (oznaczmy ją jako (x_1,y_1)) można wygenerować nieskończenie wiele innych (istotne jest to, że w tej parze y_1\neq 0, w przeciwnym razie jako parę początkową można by brać parę (1,0)).

Zauważmy, że skoro x_1^2-Dy_1^2=1, to (x_1-y_1\sqrt{D})(x_1+y_1\sqrt{D})=1. Oznaczmy przez x_n i y_n liczby spełniające równanie (x_1+y_1\sqrt{D})^n=x_n+y_n\sqrt{D}. Wówczas spełnione będzie równanie (x_1-y_1\sqrt{D})^n=x_n-y_n\sqrt{D}, gdyż współczynnik całkowity wyrażenia po lewej stronie pozostanie taki sam jak był, a współczynnik przy \sqrt{D} jedynie zmieni znak. Zatem

x_n^2-Dy_n^2=(x_n+y_n\sqrt{D})\cdot (x_n-y_n\sqrt{D})=(x_1+y_1\sqrt{D})^n\cdot (x_1-y_1\sqrt{D})^n=(x_1^2-Dy_1^2)^n=1^n=1.

Z pewnością pary (x_n,y_n) są parami różne (gdyż x_1+y_1\sqrt{D}\neq 1), a zatem istotnie dostajemy nieskończenie wiele różnych rozwiązań równania Pella.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Znajdźmy kilka rozwiązań równania Pella dla D=3. Generowane ułamki łańcuchowe to \tfrac{1}{1},\tfrac{2}{1},\tfrac{5}{3},\ldots. Już para (x,y)=(2,1) spełnia równanie x^2-3y^2=1. Mamy zatem (x_1,y_1)=(2,1).

Podnosimy więc do kolejnych potęg wyrażenie (2+\sqrt 3). Mamy zatem:

  • (2+\sqrt 3)^2=7+4\sqrt 3, (x_2,y_2)=(7,4), faktycznie 7^2-3\cdot 4^2=49-3\cdot 16=1
  • (2+\sqrt 3)^3=26+15\sqrt 3, (x_3,y_3)=(26,15), faktycznie 26^2-3\cdot 15^2=676-3\cdot 225=1

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]