Równanie Pella

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przykład równania Pella dla D=2

Równanie Pellarównanie diofantyczne postaci

gdzie jest liczbą całkowitą dodatnią. Równanie to dla będącego kwadratem liczby całkowitej posiada jedynie rozwiązania oraz zaś dla niebędącego kwadratem liczby całkowitej posiada nieskończenie wiele rozwiązań.

Dla gdzie otrzymujemy równanie czyli co jak łatwo zauważyć faktycznie w liczbach całkowitych posiada jedynie rozwiązania oraz

Dla niebędącego kwadratem liczby całkowitej istnieje algorytm konstruujący nieskończenie wiele rozwiązań.

Znajdowanie rozwiązań[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie ciągiem ułamków łańcuchowych dla liczby Sprawdzamy pary liczb aż któraś z nich będzie spełniać równanie Pella, taki moment nastąpi o ile nie jest kwadratem liczby całkowitej. Z tej pary liczb (oznaczmy ją jako ) można wygenerować nieskończenie wiele innych (istotne jest to, że w tej parze w przeciwnym razie jako parę początkową można by brać parę ).

Zauważmy, że skoro to Oznaczmy przez i liczby spełniające równanie Wówczas spełnione będzie równanie gdyż współczynnik całkowity wyrażenia po lewej stronie pozostanie taki sam jak był, a współczynnik przy jedynie zmieni znak. Zatem

Z pewnością pary są parami różne (gdyż ), a zatem istotnie dostajemy nieskończenie wiele różnych rozwiązań równania Pella.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Znajdźmy kilka rozwiązań równania Pella dla Generowane ułamki łańcuchowe to Już para spełnia równanie Mamy zatem

Podnosimy więc do kolejnych potęg wyrażenie Mamy zatem:

  • faktycznie
  • faktycznie

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

  • Eric W. Weisstein, Pell Equation, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Pell equation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].