Algorytm faktoryzacji rho Pollarda

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rho Pollarda to algorytm rozkładu liczb na czynniki pierwsze, opracowany przez Johna Pollarda w 1975 roku. Jest szczególnie efektywny przy rozkładaniu liczb mających niewielkie dzielniki. Dla liczb będących iloczynem dwóch liczb pierwszych tej samej długości, jego złożoność jest rzędu .

Algorytm ten stał się sławny, gdy użyto go do faktoryzacji ósmej liczby Fermata. Pełna faktoryzacja F8 zajęła 2 godziny pracy komputera UNIVAC 1110.

Idea[edytuj]

Rho-pollard.png

Algorytm wykorzystuje paradoks dnia urodzin, mówiący, że aby znaleźć z prawdopodobieństwem większym niż ½ dwie liczby i przystające modulo , wystarczy wylosować mniej więcej liczb. Jeśli jest szukanym dzielnikiem , to , gdyż zarówno jak i dzielą się przez . Wystarczy zatem losować kolejne liczby i sprawdzać czy któraś różnica ma nietrywialne wspólne dzielniki z .

Zamiast zapamiętywać wszystkie wylosowane liczby i sprawdzać każdą parę, algorytm wykorzystuje metodę znajdowania cyklu funkcji. Wybierana jest jakaś pseudolosowa funkcja modulo , jako generator dla dwóch sekwencji. Jedna sekwencja wykonuje dwie iteracje w czasie gdy druga wykonuje jedną. Niech oznacza aktualną wartość w pierwszej sekwencji, a w drugiej. W każdym kroku wyliczany jest . Jeśli wynik jest w którymś momencie równy , algorytm kończy się błędem, gdyż wtedy i dalsze działanie będzie już tylko powtarzaniem dotychczasowych obliczeń. Jeśli w którymkolwiek momencie wynik jest większy od 1 i mniejszy od , jest on dzielnikiem .

Jeśli patrzymy na sekwencję modulo szukany dzielnik , jej wartości muszą w końcu utworzyć cykl, o długości rzędu . Diagram takiej sekwencji jest przedstawiony na rysunku – przypomina grecką małą literę (pol. ro), stąd nazwa algorytmu.

Algorytm[edytuj]

Wejście: – liczba którą próbujemy rozłożyć; – pseudolosowa funkcja modulo .

Wyjście: nietrywialny czynnik albo błąd.

x ← 2, y ← 2; d ← 1
Dopóki d = 1:
    xf(x)
    yf(f(y))
    d ← NWD(|xy|, n)
    Jeśli 1 < d < n, to zwróć d.
    Jeśli d = n, to zasygnalizuj porażkę.

Warto zauważyć że algorytm zawsze kończy się błędem dla będącego liczbą pierwszą, ale może też zwrócić błąd dla złożonego. Dlatego po błędzie można spróbować ponownie, z inną funkcją .

Aby algorytm był efektywny, zwykle używa się szybko wyliczalnych funkcji , np. wielomianów ze współczynnikami całkowitymi. Najczęściej mają one postać:

.

Bibliografia[edytuj]