Test Millera-Rabina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Test Millera-Rabina jest testem pierwszości, czyli algorytmem określającym czy dana liczba jest pierwsza. Podobnie jak test Fermata i test Solovaya-Strassena jest testem probabilistycznym, wymagającym stosowania liczb losowych. Oryginalna wersja tego algorytmu (Millera) została zaprojektowana jako algorytm deterministyczny, jednak jej poprawność zależy od nieudowodnionej dotychczas uogólnionej hipotezy Riemanna. Michael O. Rabin zmodyfikował ten algorytm do postaci randomizacyjnej i dowiódł jego poprawności w tej postaci.

Algorytm i czas działania[edytuj]

Algorytm można zapisać w następującej postaci:

Wejście: n > 1: nieparzysta liczba naturalna do przetestowania;

k: parametr określający dokładność testu.

Wyjście: złożona, jeśli n jest złożona, prawdopodobnie pierwsza, jeśli nie uda się stwierdzić złożoności;

wylicz maksymalną potęgę dwójki dzielącą n-1 i przedstaw n-1 jako 2^s \cdot d;
powtórzyć k razy:
wybrać a losowo ze zbioru \{ 1,2,\dots, n - 1\} ;
jeśli a^d \not\equiv 1 \ (\operatorname{mod}\, n) i a^{{2^r}d} \not\equiv\ -1 \ (\operatorname{mod}\, n) dla wszystkich r ze zbioru \mathbb Z_s=\{ 0,1,2,\dots, s - 1\} , zwróć wynik złożona.
zwróć wynik prawdopodobnie pierwsza.

Używając algorytmu szybkiego potęgowania można tę procedurę przeprowadzić w czasie \Omicron(k \cdot \log^4 n), gdzie k jest liczbą różnych testowanych wartości a.

Dowód poprawności[edytuj]

Poprawność tego algorytmu opiera się na następujących dwóch twierdzeniach:

Twierdzenie 1[edytuj]

Załóżmy, że n jest liczbą pierwszą oraz, że a\in\mathbb{Z}_n^\star.

Niech dalej d=(n-1)/2^s, gdzie s=\max\{j:\;2^j|(n-1)\}. Wówczas albo a^d\equiv 1 \ (\operatorname{mod}\, n), albo istnieje r\in\mathbb Z_s, dla którego a^{2^r\cdot d}\equiv -1 \ (\operatorname{mod}\, n)[potrzebny przypis].

Liczbę a\in\mathbb Z_n^\star, która nie spełnia warunków powyższego twierdzenia nazywa się świadkiem złożoności liczby n

Twierdzenie 2[edytuj]

Jeśli n\ge3 jest nieparzystą liczbą złożoną, to w zbiorze \mathbb Z_n^\star jest co najwyżej (n-1)/4 liczb nie będących świadkami jej złożoności[potrzebny przypis].

Przykład[edytuj]

Należy określić, czy liczba n = 221 jest pierwsza.

Zapisując n − 1 = 220 w postaci 22 • 55, otrzymuje się s = 2 oraz d = 55. Następnie trzeba wybrać losowo liczbę a < n. Jeśli wylosowaną liczbą jest a = 174, wtedy dla r ze zbioru {0,1}:

  • a20·d mod n = 17455 mod 221 = 47 ≠ 1 i ≠ n − 1, więc nierównoważne −1 mod n.
  • a21·d mod n = 174110 mod 221 = 220 = n − 1.

Ponieważ 220 ≡ −1 mod n, to albo liczba 221 jest pierwsza, albo 174 jest fałszywym świadkiem dla 221. W tym przypadku następuje losowanie kolejnej wartość a, tym razem a = 137:

  • a20·d mod n = 13755 mod 221 = 188 ≠ 1 i ≠ n − 1, więc nierównoważne −1 mod n.
  • a21·d mod n = 137110 mod 221 = 205 ≠ n − 1.

A zatem 137 jest świadkiem złożoności 221, a 174 jest faktycznie fałszywym świadkiem. W tym przypadku test pozwala także dokonać rozkładu liczby:

NWD(137−1, 221) = 17
221 / 17 = 13
zatem 221 = 17 • 13

Dokładność testu i wersje deterministyczne[edytuj]

Można pokazać, że dla dowolnej złożonej nieparzystej liczby naturalnej n co najmniej 3/4 możliwych wartości a jest dobrymi świadkami złożoności tej liczby. Jeśli zatem przeprowadzamy k losowych prób, prawdopodobieństwo, że określimy liczbę złożoną jako pierwszą wynosi co najwyżej 4^{-k}.

Istnieją deterministyczne wersje tego testu, jednak w ogólności są one znacznie wolniejsze i głównie dlatego nie mają zastosowania praktycznego. Dla małych n udowodniono, że można test przeprowadzić znacznie szybciej[1][2][3]:

  • jeśli n < 4,759,123,141, wystarczy sprawdzić a = 2, 7 i 61;
  • jeśli n < 341,550,071,728,321, wystarczy sprawdzić a = 2, 3, 5, 7, 11, 13 i 17.

(inne tego typu kryteria opisano np. w The Prime Pages i SPRP bases)

Daje to bardzo szybki deterministyczny test pierwszości dla liczb z tego zakresu, bez żadnych dodatkowych założeń. Udowodniono jednak, że żaden skończony zbiór a nie wystarcza do testowania wszystkich liczb złożonych.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Pomerance, C.; Selfridge, J. L. & Wagstaff, S. S., Jr. (1980), "The pseudoprimes to 25·109", Mathematics of Computation 35 (151): 1003–1026, doi:10.2307/2006210
  2. Jaeschke, Gerhard (1993), "On strong pseudoprimes to several bases", Mathematics of Computation 61 (204): 915–926, doi:10.2307/2153262
  3. Zhang, Zhenxiang & Tang, Min (2003), "Finding strong pseudoprimes to several bases. II", Mathematics of Computation 72 (44): 2085–2097, doi:10.1090/S0025-5718-03-01545-X

Linki zewnętrzne[edytuj]