Twierdzenie Cantora-Bernsteina-Schrödera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy twierdzenia o zbiorach równolicznych. Zobacz też: inne twierdzenia noszące nazwisko Cantora.

Twierdzenie Cantora-Bernsteina-Schrödera – twierdzenie teorii mnogości głoszące, że jeśli zbiór A jest równoliczny z pewnym podzbiorem zbioru B oraz zbiór B jest równoliczny z pewnym podzbiorem zbioru A, to zbiory A i B są równoliczne.

Dla zbiorów napiszemy że ilekroć zbiór A jest równoliczny z pewnym podzbiorem zbioru B. Przy tych oznaczeniach możemy wyrazić twierdzenie Cantora-Bernsteina-Schrödera w następujący sposób symboliczny:

Jeśli oraz to .

Formułując jeszcze inaczej, twierdzenie to wyraża słabą antysymetrię relacji porządku na liczbach kardynalnych:

Jeśli oraz , to .

Historia i źródła[edytuj]

Twierdzenie było sformułowane po raz pierwszy przez Georga Cantora w 1883 i 1895 (bez dowodu). Pierwszy kompletny dowód był podany przez Feliksa Bernsteina w 1897. Inną próbę dowodu przedstawił Ernst Schröder w 1898, zawierała ona jednak lukę. W literaturze matematycznej istnieje szereg różnych dowodów tego twierdzenia, te z początkowego okresu rozwoju teorii mnogości albo wymagały dodatkowych założeń, albo były niepełne albo bardzo skomplikowane. Dla bardziej kompletnej dyskusji historii tego twierdzenia oraz przeglądu różnych dowodów odsyłamy czytelnika do publikacji Zdzisława Skupienia[1][2] (zobacz też Jerzy Mioduszewski[3]) oraz artykułu R. Mańki i Agnieszki Wojciechowskiej[4]

Dowód I[edytuj]

Udowodnimy najpierw następujący lemat.

Lemat[edytuj]

Jeżeli oraz , to .

Dowód lematu:

Przypuśćmy, że oraz zbiór A jest równoliczny z C. Zatem możemy ustalić bijekcję .

Naszym celem jest skonstruowanie bijekcji ze zbioru A na B. Poniżej, obraz zbioru przez funkcję f jest oznaczany przez (tak więc ).

Zdefiniujmy rekurencyjnie ciąg zbiorów:

Łatwo zauważyć, że dla wszystkich . Połóżmy i zdefiniujmy funkcję w następujący sposób:

Powyższa formuła poprawnie definiuje funkcję z A w B i naszym celem jest wykazanie że jest ona bijekcją (z A na B).

Pokażmy najpierw że g jest różnowartościowa. W tym celu załóżmy że są elementami zbioru A. Dowodzimy, że rozważając 4 przypadki.

(i) Jeśli , to .
(ii) Jeśli , to , co wynika z różnowartościowości funkcji f.
(iii) Przypuśćmy teraz że ale . Załóżmy nie wprost, że . Zauważmy, że w aktualnym przypadku mamy oraz , a więc . Stąd dla pewnego . Jeżeli teraz , czyli , to czyli w szczególności . Jednak funkcja f była bijekcją na zbiór C, zatem otrzymaliśmy sprzeczność. Rozważmy teraz przypadek gdy . Wówczas a zatem dla pewnego mamy . Ponieważ f jest różnowartościowa otrzymujemy a stąd . Oczywiście jest to sprzeczne z założeniem że czyli uzyskaliśmy sprzeczność i w tym przypadku.
(iv) Jeśli ale , to argumentacja identyczna z przedstawioną w (iii) dowodzi, że .

A zatem z (i)-(iv) wynika że funkcja g jest różnowarościowa.

Ostatnim krokiem dowodu lematu jest pokazanie, że funkcja jest suriekcją, czyli że .

Wiemy że . Mamy zatem:

Wykazaliśmy zatem prawdziwość lematu.

Dowód twierdzenia[edytuj]

Aby udowodnić twierdzenie, przypuśćmy że zbiór X jest równoliczny z pewnym podzbiorem zbioru Y oraz zbiór Y jest równoliczny z pewnym podzbiorem zbioru X. Zatem możemy znaleźć funkcje różnowartościowe oraz . Połóżmy oraz . Wówczas zbiory A, B, C spełniają założenia lematu, więc możemy wywnioskować iż zbiory i B są równoliczne. Ponieważ zbiory B i Y są równoliczne (o czym świadczy np funkcja g) otrzymujemy że zbiory X i Y są równoliczne.

Dowód II (Banach, Tarski)[edytuj]

Poniżej, rodzina wszystkich podzbiorów zbioru X jest oznaczana przez .

Definicja[edytuj]

Niech będą dane zbiory X, Y. Powiemy, że funkcja jest monotoniczna jeśli dla każdych zbiorów takich że zachodzi .

Lemat A (twierdzenie Knastera-Tarskiego o punkcie stałym)[edytuj]

Niech X będzie zbiorem oraz niech będzie funkcją monotoniczną. Wówczas odwzorowanie ma taki punkt stały D (to znaczy istnieje , że ).

Dowód lematu

Zdefiniujmy rodzinę zbiorów . Twierdzimy, że suma

jest punktem stałym odwzorowania . Aby się o tym przekonać zauważmy, iż dla każdego zachodzi , więc z monotoniczności wynika, że . Zatem

,

a stąd .

Korzystając kolejny raz z monotoniczności dostajemy więc . Wobec tego musi zawierać się w sumie rodziny , czyli .

Zachodzą więc obie inkluzje i , więc D jest punktem stałym odwzorowania .

Lemat B[edytuj]

Niech będą dane zbiory X, Y i funkcje , . Wówczas odwzorowanie dane wzorem

jest monotoniczne.

Dowód lematu

Niech . Wówczas , więc i . Zatem:

.

Czyli z definicji funkcji , .

Dowód twierdzenia[edytuj]

Niech X i Y spełniają założenia twierdzenia i niech oraz będą funkcjami różnowartościowymi. Zdefiniujmy odwzorowanie jak w lemacie B:

.

Wówczas na mocy lematu B jest to funkcja monotoniczna, a zatem z lematu A wynika istnienie zbioru D takiego, że , co zachodzi gdy . Czyli:

.

Ponieważ g jest iniekcją możemy zdefiniować funkcję w następujący sposób:

Funkcja jest suriekcją. Istotnie,

.

Aby wykazać iniektywność h należy wziąć dwa elementy i i pokazać, że (rozpatrywanie innych przypadków jest trywialne ze względu na iniektywność f i g). Pamiętając, że mamy iż . Jednocześnie , więc należą do rozłącznych podzbiorów zatem nie mogą być równe. W związku z tym h jest bijekcją pomiędzy zbiorami X i Y a co za tym idzie zbiory te są równoliczne.

Przykład zastosowania[edytuj]

Twierdzenie Cantora-Bernsteina pozwala na proste uzasadnienie wielu faktów teorii mocy, co bez tego twierdzenia często pociągało by konieczność przeprowadzania długich i skomplikowanych dowodów. Np. łatwo jest wykazać że dowolny przedział otwarty jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych (równoliczność tę ustala złożenie funkcji liniowej z tangensem). Z twierdzenia Cantora-Bernsteina natychmiastowo otrzymujemy że przedział domknięty również ma moc continuum bo przecież: gdzie .

Przypisy

  1. Skupień, Zdzisław: Prosty dowód twierdzenia Cantora-Bernsteina, "Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego seria II: Wiadomości Matematyczne" XXXV (1999), strony 49-53. pdf
  2. Skupień, Zdzisław: Twierdzenie Cantora-Bernsteina — dowody znane-nieznane, "Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego seria II: Wiadomości Matematyczne" XXXIX (2003), strony 85-94. pdf
  3. Mioduszewski, Jerzy: Listy do Redakcji. W sprawie artykułu Z. Skupienia, "Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego seria II: Wiadomości Matematyczne" XXXVII (2001), strony 181-182 pdf
  4. Mańka, R; Wojciechowska, Agnieszka: O dwóch twierdzeniach Cantora, "Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego seria II: Wiadomości Matematyczne" XXV (1984), strony 191-198.