Teoria układów dynamicznych: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
m MalarzBOT: {{Dziedziny matematyki}} poprawiam na {{Działy matematyki}} |
Nie podano opisu zmian |
||
| Linia 1: | Linia 1: | ||
'''Teoria układów dynamicznych''' – dziedzina matematyki zajmująca się [[układ dynamiczny|układami dynamicznymi]]. Stanowi ona ważny w praktyce dział matematyki (np. w automatyce){{r|pwn1 |
'''Teoria układów dynamicznych''' – dziedzina matematyki zajmująca się [[układ dynamiczny|układami dynamicznymi]]. Stanowi ona ważny w praktyce dział matematyki (np. w automatyce){{r|pwn1}}. |
||
== Poddziały == |
|||
=== Teoria chaosu === |
|||
[[Chaos (matematyka)|Teoria chaosu]] opisuje układy dynamiczne, które są szczególnie wrażliwe na warunki początkowe (potocznie bywa to nazywane [[Efekt motyla|efektem motyla]]). Pomimo że jest to w pełni [[Chaos (matematyka)|chaos deterministyczny]], tzn. określony jednoznacznie przez warunki początkowe, układy chaotyczne bywają na tyle skomplikowane, że dokładne ustalenie ich zachowania okazuje się być praktycznie niemożliwe<ref>{{Cytuj |autor = Stephen H. Kellert |tytuł = In the wake of chaos: unpredictable order in dynamical systems |data = 1994 |data dostępu = 2023-12-08 |isbn = 978-0-226-42976-2 |wydanie = Paperback ed |opis = Science and its conceptual foundations series |miejsce = Chicago |wydawca = Univ. of Chicago Press}}</ref>. |
|||
=== Dynamika topologiczna === |
|||
[[Dynamika topologiczna]] zajmuje się topologicznymi układami dynamicznymi. |
|||
=== Dynamika symboliczna === |
|||
Dynamika symboliczna zajmuje się topologicznymi układami składającymi się z nieskończonych ciągów (odpowiadających stanom układu) i przekształcenia będącego przesunięciem ([[Translacja (matematyka)|translacją]]).<ref>{{Cytuj |autor = Bailin Hao |tytuł = Elementary symbolic dynamics and chaos in dissipative systems |data = 1989 |data dostępu = 2023-12-08 |isbn = 978-9971-5-0682-7 |miejsce = Singapore |wydawca = World Scientific Publ}}</ref> |
|||
=== Teoria ergodyczna === |
|||
[[Teoria ergodyczna]] zajmuje się [[Statystyka|własnościami statystycznymi]] [[Układ dynamiczny|układów dynamicznych]], przede wszystkim - [[Układ ergodyczny|układów ergodycznych]]<ref>{{Cytuj |autor = Peter Walters |tytuł = An Introduction to Ergodic Theory |czasopismo = Graduate Texts in Mathematics |data = 1982 |data dostępu = 2023-12-08 |issn = 0072-5285 |doi = 10.1007/978-1-4612-5775-2 |url = http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-5775-2}}</ref>. Formalnie, zakładamy zwykle, że przekształcenia w układzie [[Układ dynamiczny zachowujący miarę|zachowują miarę]]. Upraszczając. wielkość danego podzbioru całego układu jest "taka sama" przed i po działaniu przekształcenia. Intuicję stojącą za pojęciem ergodyczności można wyrazić tym, że przekształcanie układu dobrze "miesza" jego elementy. |
|||
== Zastosowania == |
|||
=== Teoria liczb === |
|||
Jednym z najbardziej znanych wyników z [[Teoria liczb|teorii liczb]] udowodnionych z wykorzystaniem układów dynamicznych jest [[twierdzenie Van der Waerdena]]. W dowodzie wykorzystuje się [[twierdzenie Poincarégo o rekurencji]]. Pierwotny dowód był o wiele trudniejszy i korzystał ze skomplikowanych tożsamości kombinatorycznych<ref>{{Cytuj |autor = Manfred Einsiedler, Thomas Ward |tytuł = Ergodic Theory |data = 2011 |data dostępu = 2023-12-08 |doi = 10.1007/978-0-85729-021-2 |url = http://dx.doi.org/10.1007/978-0-85729-021-2}}</ref>. |
|||
== Przypisy == |
== Przypisy == |
||
Wersja z 20:31, 8 gru 2023
Teoria układów dynamicznych – dziedzina matematyki zajmująca się układami dynamicznymi. Stanowi ona ważny w praktyce dział matematyki (np. w automatyce)[1].
Poddziały
Teoria chaosu
Teoria chaosu opisuje układy dynamiczne, które są szczególnie wrażliwe na warunki początkowe (potocznie bywa to nazywane efektem motyla). Pomimo że jest to w pełni chaos deterministyczny, tzn. określony jednoznacznie przez warunki początkowe, układy chaotyczne bywają na tyle skomplikowane, że dokładne ustalenie ich zachowania okazuje się być praktycznie niemożliwe[2].
Dynamika topologiczna
Dynamika topologiczna zajmuje się topologicznymi układami dynamicznymi.
Dynamika symboliczna
Dynamika symboliczna zajmuje się topologicznymi układami składającymi się z nieskończonych ciągów (odpowiadających stanom układu) i przekształcenia będącego przesunięciem (translacją).[3]
Teoria ergodyczna
Teoria ergodyczna zajmuje się własnościami statystycznymi układów dynamicznych, przede wszystkim - układów ergodycznych[4]. Formalnie, zakładamy zwykle, że przekształcenia w układzie zachowują miarę. Upraszczając. wielkość danego podzbioru całego układu jest "taka sama" przed i po działaniu przekształcenia. Intuicję stojącą za pojęciem ergodyczności można wyrazić tym, że przekształcanie układu dobrze "miesza" jego elementy.
Zastosowania
Teoria liczb
Jednym z najbardziej znanych wyników z teorii liczb udowodnionych z wykorzystaniem układów dynamicznych jest twierdzenie Van der Waerdena. W dowodzie wykorzystuje się twierdzenie Poincarégo o rekurencji. Pierwotny dowód był o wiele trudniejszy i korzystał ze skomplikowanych tożsamości kombinatorycznych[5].
Przypisy
- ↑ układy dynamiczne, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2022-11-09].
- ↑ Stephen H. Kellert, In the wake of chaos: unpredictable order in dynamical systems, wyd. Paperback ed, Science and its conceptual foundations series, Chicago: Univ. of Chicago Press, 1994, ISBN 978-0-226-42976-2 [dostęp 2023-12-08].
- ↑ Bailin Hao, Elementary symbolic dynamics and chaos in dissipative systems, Singapore: World Scientific Publ, 1989, ISBN 978-9971-5-0682-7 [dostęp 2023-12-08].
- ↑ Peter Walters, An Introduction to Ergodic Theory, „Graduate Texts in Mathematics”, 1982, DOI: 10.1007/978-1-4612-5775-2, ISSN 0072-5285 [dostęp 2023-12-08].
- ↑ Manfred Einsiedler, Thomas Ward, Ergodic Theory, 2011, DOI: 10.1007/978-0-85729-021-2 [dostęp 2023-12-08].
<ref> o nazwie „pwn2”, zdefiniowany w <references>, nie był użyty wcześniej w treści.