Funkcja dzeta Riemanna

Wykres funkcji $\zeta$ w dziedzinie liczb rzeczywistych

Wykres funkcji $\zeta$ w dziedzinie liczb zespolonych uzyskany techniką kolorowania dziedziny.

Funkcja zeta Riemanna (funkcja dzeta Riemanna, funkcja $\zeta$) – zespolona funkcja specjalna zdefiniowana w postaci szeregu

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

dla dowolnej liczby zespolonej $s$ o części rzeczywistej $\Re (s)>1$ oraz jako przedłużenie analityczne powyższego szeregu dla pozostałych liczb zespolonych.

Funkcję $\zeta$ po raz pierwszy zdefiniował Leonhard Euler w XVIII w., jednak rozważał jej wartości jedynie dla zmiennych rzeczywistych. Dopiero Bernhard Riemann w artykule z listopada 1859 r. O liczbie liczb pierwszych mniejszych od zadanej wielkości (niem. Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse) rozszerzył definicję Eulera na wszystkie liczby zespolone, udowodnił meromorficzność funkcji, przedstawił i udowodnił równanie funkcyjne opisujące funkcję na całej płaszczyźnie zespolonej i wykazał zależność między rozmieszczeniem jej miejsc zerowych a liczbą liczb pierwszych. Artykuł ten zawierał również sformułowanie hipotezy Riemanna, określanej jako najważniejszy problem otwarty matematyki.

Funkcja zeta znajduje bardzo wiele zastosowań w analitycznej teorii liczb.

Postacie funkcji

Dla zmiennej o części rzeczywistej większej niż 1

Funkcja $\zeta$ jest pierwotnie definiowana za pomocą szeregu. W swojej pracy Riemann udowodnił także postać

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}dx$

Moduły funkcji Z Riemanna-Siegela (linia przerywana) oraz funkcji zeta Riemanna (linia ciągła) na prostej krytycznej

dla $\Re (s)>1$, wykorzystując przy tym odwrotność funkcji gamma.

W perspektywie teorii liczb, zdecydowanie największą rolę odgrywa iloczyn Eulera funkcji zeta, będący postaci

$\zeta (s)=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{-1}$,

gdzie ${\textstyle \prod _{p}}$ oznacza iloczyn po wszystkich liczbach pierwszych.

W pasie krytycznym

Często wykorzystywaną reprezentacją funkcji $\zeta$ na pasie $0<\Re (s)<1$ jest

$\zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{s+1}}}du$,

gdzie $\{x\}$ oznacza część ułamkową. Postać tę można odczytać ze wzoru sumacyjnego Eulera.

Na całej płaszczyźnie zespolonej

$\zeta (s)={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{-s}.$

Równanie funkcyjne

Równaniem udowodnionym przez Riemanna, które opisuje zachowanie funkcji $\zeta$

$\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)$

dla dowolnej liczby zespolonej $s$, gdzie $\Gamma$ to funkcja gamma.

Równanie to wiąże wartości funkcji dla zmiennych zespolonych $s$ i $1-s$, symetrycznych wobec siebie względem prostej krytycznej ${\textstyle \Re (s)={\frac {1}{2}}}$. Z równania tego można również odczytać, że trywialnymi miejscami zerowymi funkcji $\zeta$ są $-2k=-2,-4,-6,\ldots$ (ponieważ wtedy wartości $2^{s}\pi ^{s-1}$, funkcji $\Gamma (1-s)$ i $\zeta (1-s)$ są skończone, a ${\textstyle \sin \left({\frac {-2k\pi }{2}}\right)=\sin(-k\pi )=0}$). Jednocześnie, jeśli $s=2k$ (jest dodatnią liczbą parzystą), to $\zeta (s)\neq 0$, ponieważ w tych miejscach występują bieguny funkcji $\Gamma (1-s)$. Ponadto, jeśli $s_{0}$ jest nietrywialnym miejscem zerowym $\zeta$ ($0<\Re (s_{0})<1$), to jest nim również $1-s_{0}$. Jeśli $s_{0}$ nie leży na prostej krytycznej, to są to dwie różne wartości, dlatego nietrywialne miejsca zerowa poza prostą krytyczną muszą występować w parach.

Wzory związane z funkcją zeta

Na półpłaszczyźnie $\Re (s)>1$ funkcja Riemanna jest wyrażona przez iloczyn Eulera $\zeta (s)=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{-1}$,

gdzie ${\textstyle \prod _{p}}$ oznacza iloczyn po wszystkich liczbach pierwszych.

Ponadto, dla $\Re (s)>1$ prawdziwe są tożsamości

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$

oraz

${\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}$

gdzie $\mu$ to funkcja Möbiusa,

${\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}$,

gdzie $\lambda$ to funkcja Liouville'a. Wszystkie powyższe iloczyny można otrzymać przez zwykłe przekształcenia algebraiczne na produkcie Eulera funkcji $\zeta$, a szeregi po prawej - przez wymnażanie czynników.

Biorąc logarytm zespolony iloczynu Eulera, mamy

$\log \zeta (s)=\log \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}=-\sum _{p}\log \left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=-\sum _{p}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{kp^{ks}}}$,

przy czym ostatnia równość zachodzi, ponieważ ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }(kx^{k})^{-1}}$ jest szeregiem potęgowym funkcji $\log(1-x^{-1})$. Różniczkując wyraz po wyrazie, otrzymujemy

${\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{p}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\log p}{p^{ks}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}\log n}}$,

gdzie $\Lambda$ oznacza funkcję von Mangoldta.

Związek z liczbami Bernoulliego:

$\zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}},$

dla każdej liczby parzystej dodatniej $2n,$ gdzie $B_{k}$ to $k$-ta liczba Bernoulliego. Ponadto dla liczb całkowitych ujemnych $-n{:}$

$\zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}.$

Zatem funkcja ζ przyjmuje wartość 0 dla każdej ujemnej liczby parzystej.

Związki z funkcjami teorioliczbowymi:

$\ln \zeta (z)=z\int _{2}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{z}-1)}}dx,$

gdzie $\pi (x)$ to funkcja π (pi) określająca liczbę liczb pierwszych nie większych od $x$

$\zeta ^{2}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{z}}},$

gdzie $\tau (n)$ to funkcja τ (tau), określająca liczbę dzielników liczby $n.$

Niektóre wartości

$\zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}\approx -0{,}0833333$

$\zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1{,}6449341$

$\zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\approx 1{,}0823232$

$\zeta (6)=1+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}\approx 1{,}0173431$

$\zeta (8)=1+{\frac {1}{2^{8}}}+{\frac {1}{3^{8}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{8}}{9450}}\approx 1{,}0040774$

$\zeta (10)=1+{\frac {1}{2^{10}}}+{\frac {1}{3^{10}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{10}}{93555}}\approx 1{,}0009946$

Ogólnie, dla $p\in \mathbb {N} ,$ mamy:

$\zeta (2p)={\frac {(-1)^{p+1}\cdot B_{2p}\cdot (2\pi )^{2p}}{2\cdot (2p)!}},$

gdzie $B_{2p}$ to liczba Bernoulliego z indeksem $2p.$

Zobacz też

• problem bazylejski
• regularyzacja funkcją dzeta

Bibliografia

• E.C.E.C. Titchmarsh E.C.E.C., The theory of the Riemann zeta-function, second edition, Oxford: Clarendon Press, 1986  (ang.).
• LechL. Maligranda LechL., Szeregi w pracach Eulera, „Antiquitates Mathematicae”, 2, 2008, s. 47–67, DOI: 10.14708/am.v2i1.609, ISSN 1898-5203, URN: urn:nbn:se:ltu:diva-13072 .

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Riemann Zeta Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Grant Sanderson, Visualizing the Riemann zeta function and analytic continuation, kanał 3blue1brown na YouTube, 9 grudnia 2016 [dostęp 2021-03-15].