Ślad macierzy

Z Wikipedii

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz jednostkowa macierz zerowa macierz elementarna macierz schodkowa macierz trójkątna macierz symetryczna macierz diagonalna macierz idempotentna macierz nilpotentna macierz hermitowska macierz unitarna macierz ortogonalna macierz dodatnio określona Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy potęgowanie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Ślad macierzy – w algebrze liniowej suma elementów na głównej przekątnej macierzy kwadratowej.

Spis treści 1 Definicja 2 Własności 3 Przekształcenia liniowe 4 Operatory śladowe 5 Źródło 6 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Śladem macierzy A nazywamy wielkość

.

Stosuje się również oznaczenia oraz . Macierz, której ślad jest równy zeru nazywa się czasami macierzą bezśladową.

[edytuj] Własności

• Ślad jest operatorem liniowym. Niech oraz , wówczas

  addytywność: ,

  jednorodność: .

• Przekątna główna macierzy nie ulega zmianie przy transpozycji, stąd

  .

• Jeśli , to

.

[edytuj] Przekształcenia liniowe

Ślad macierzy podobnych jest identyczny, ponieważ dla dowolnej macierzy odwracalnej P zachodzi

.

Niech będzie przekształceniem liniowym określonym na przestrzeni V. Powyższa obserwacja pozwala na zdefiniowanie śladu endomorfizmu przestrzeni liniowych jako śladu jego macierzy w dowolnej bazie.

Niech będą wartościami własnymi macierzy A. Ponieważ A można przekształcić przez podobieństwo (za pomocą operacji elementarnych) do macierzy w postaci Jordana, której wartości własne znajdują się na głównej przekątnej, to zachodzi

.

Bezpośrednią konsekwencją powyższego jest równość

.

[edytuj] Operatory śladowe

Można podać ogólniejszą definicję, dotyczącą nie tylko macierzy, ale również operatorów przestrzeni Hilberta.

Niech H będzie przestrzenią Hilberta, jej bazą ortonormalną oraz niech , gdzie oznacza zbiór wszystkich operatorów Hilberta-Schmidta przestrzeni H, tj. takich operatorów liniowych i ciągłych , że

.

Funkcję , daną wzorem

nazywamy śladem.

Operatory należące do nazywamy operatorami śladowymi.

Powyższa definicja jest poprawna i nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej przestrzeni H. W przypadku, gdy H jest przestrzenią skończeniewymiarową, to każdy jej operator reprezentowany jest przez pewną macierz. Wówczas wartość operatora śladowego na dowolnym jej operatorze pokrywa się z wartością śladu macierzy tego operatora.

[edytuj] Źródło

1. F.W. Gehring, P.R. Halmos, C.C Moore: A Course in Functional Analysis. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1985. 

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki.