Krzywa drugiego stopnia
Wygląd
Krzywa drugiego stopnia – krzywa dana równaniem drugiego stopnia ze względu na współrzędne
gdzie:
przy czym przynajmniej jeden ze współczynników musi być różny od zera.
W zależności od wartości współczynników krzywa może należeć do jednego z wielu typów, różniących się właściwościami.
Każda krzywa drugiego stopnia jest pewną krzywą stożkową.
Niezmienniki
[edytuj | edytuj kod]Dla krzywej danej równaniem 2 stopnia poszczególne współczynniki zmieniają się przy zmianie układu współrzędnych. Jednak pewne wielkości zwane niezmiennikami są niezależne od wyboru ortonormalnego układu współrzędnych:
Klasyfikacja krzywych 2 stopnia
[edytuj | edytuj kod]W oparciu o znaki niezmienników można przeprowadzić klasyfikację krzywych:
Wartości Δ, δ i S | krzywa | postać kanoniczna | uwagi | ||
---|---|---|---|---|---|
Krzywe środkowe δ≠0 |
δ>0 | Δ•S<0 | elipsa rzeczywista | dla elipsa jest okręgiem | |
Δ•S>0 | elipsa urojona | ||||
Δ=0 | para prostych urojonych z jednym punktem rzeczywistym |
||||
δ<0 | Δ≠0 | hiperbola | |||
Δ=0 | para prostych przecinających się | ||||
Krzywe paraboliczne δ=0 S≠0 |
Δ≠0 | parabola | |||
Δ=0 | para prostych równoległych | równoważnie można badać znak wyrażenia | |||
para prostych pokrywających się | |||||
para prostych urojonych |
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – Poradnik encyklopedyczny. Wyd. 6. Warszawa: PWN, 1976, s. 299–301.
- Marceli Stark: Geometria analityczna ze wstępem do geometrii wielowymiarowej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1972, s. 177–184.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Eric W. Weisstein , Quadratic Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].
- Second-order curve (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].