Macierz sprzężona

Ten artykuł od 2016-09 wymaga zweryfikowania podanych informacji.

Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Macierz sprzężona do macierzy $A$ – macierz oznaczana ${\overline {A}},$ której każdy element jest liczbą sprzężoną do odpowiadającego mu elementu macierzy $A.$

Definicja formalna

Sprzężeniem macierzy nazywamy odwzorowanie

{\overline {\;\cdot \;}}:M_{n\times m}(\mathbb {C} )\to M_{n\times m}(\mathbb {C} )

takie, że dla danej macierzy $A$ zachodzi

A=(a_{ij})\mapsto {\overline {A}}=({\overline {a_{ij}}}).

Przykład

A={\begin{bmatrix}2+3i&1-2i&-1+2i\\0&-2&3+2i\\-i&2-i&2+i\end{bmatrix}}\mapsto {\overline {A}}={\begin{bmatrix}2-3i&1+2i&-1-2i\\0&-2&3-2i\\i&2+i&2-i\end{bmatrix}}

Własności

Zachodzą następujące własności:

$A,B\in M_{n\times m}(\mathbb {C} )\implies {\overline {A+B}}={\overline {A}}+{\overline {B}}$
$a\in \mathbb {C} \implies {\overline {a\cdot A}}={\overline {a}}\cdot {\overline {A}}$
$A\in M_{n\times m}(\mathbb {C} )\land B\in M_{m\times p}(\mathbb {C} )\implies {\overline {A\cdot B}}={\overline {A}}\cdot {\overline {B}}$
${\overline {A}}^{-1}={\overline {A^{-1}}}$ dla macierzy odwracalnej $A$
$A\in M_{n\times m}(\mathbb {R} )\implies {\overline {A}}=A$
$\det {\overline {A}}={\overline {\det A}}$ dla $A\in M_{n\times n}(\mathbb {C} )$

Zobacz też