Równanie soczewki

Równanie soczewki (zwierciadła) – równanie określające zależność pomiędzy odległością przedmiotu od soczewki a odległością jego obrazu otrzymanego w tej soczewce

${\frac {1}{f}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}},$

gdzie:

$x$ – odległość przedmiotu od soczewki,

$y$ – odległość obrazu od soczewki,

$f$ – ogniskowa soczewki.

Wyprowadzenie

Równanie zwierciadła

Oznaczmy położenie przedmiotu jako $O,$ położenie przedmiotu jako $I,$ środek krzywizny zwierciadła jako $C,$ środek zwierciadła jako $V$ oraz obierzmy na zwierciadle dowolny punkt $P.$ Kąty pomiędzy nimi oznaczmy jak na rysunku.

Zgodnie z prawem odbicia zachodzi równość

$\alpha =\alpha '.$

Z sumy miar kątów w trójkącie dostajemy następujące równości:

$\beta +\alpha =\gamma ,$

$\beta +2\alpha =\delta ,$

z czego wynika, że

$\beta +\delta =\gamma -\alpha +\beta +2\alpha =\gamma +\beta +\alpha =2\gamma .$

Używając przybliżeń małych kątów dla promieni przyosiowych, możemy zapisać, że:

$\beta ={\frac {PV}{OV}},$

$\gamma ={\frac {PV}{CV}},$

$\delta ={\frac {PV}{IV}}.$

Podstawiając to do poprzedniego równania, dostajemy:

${\frac {PV}{OV}}+{\frac {PV}{IV}}=2{\frac {PV}{CV}}.$

Podstawiając wartości $OV=x,$ $IV=y,$ $CV=R$ oraz skracając przez $PV,$ otrzymujemy

${\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {2}{R}}.$

Promienie równoległe do osi skupiają się w ognisku zwierciadła, zatem podstawiając $x\to \infty$ i $y\to f,$ dostajemy

${\frac {1}{\infty }}+{\frac {1}{f}}={\frac {2}{R}},$

zatem

${\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {2}{R}}={\frac {1}{f}}$.

Równanie soczewki

Oznaczmy położenie przedmiotu jako $O$ oraz położenie obrazu jako $I.$

Fala rozchodząca się z punktu $O$ rozchodzi się kuliście. Na rysunku zaznaczono fragment łuku będący czołem fali wychodzącej z $O$ tuż przed i tuż po wejściu do soczewki. Po przejściu przez soczewkę, czoło fali również formuje sferę, aby w równym czasie dojść do punktu $I.$

Wiemy zatem, że wszystkie promienie muszą dotrzeć w tym samym czasie do obrazu. W szczególności, promień $OWW'I$ musi pokonać swoją drogę w tym samym czasie co $OLL'I.$ Skoro $OW=OL$ i $W'I=L'I,$ dostajemy równanie

$WW'=nLL'=nd,$

gdzie $n$ to względny współczynnik załamania na granicy soczewka–ośrodek, a $d$ to grubość soczewki.

Odcinek $WW'$ jest równy $AL+d+L'A'.$ Możemy użyć podstawień $AL={\frac {k}{x}}$ i $L'A'={\frac {k}{y}},$ gdzie $x,y$ to odległość przedmiotu od soczewki i obrazu od soczewki, a $k$ to pewna stała. Podstawiając to do poprzedniego równania, otrzymujemy

${\frac {k}{x}}+{\frac {k}{y}}+d=nd.$

Korzystając z faktu, że zarówno $k,$ $n$ i $d$ są stałe i niezależne od zmiennych $x$ i $y,$ możemy dokonać ciągu uproszczeń:

${\frac {k}{x}}+{\frac {k}{y}}+d=\mathrm {const} ,$

${\frac {k}{x}}+{\frac {k}{y}}=\mathrm {const} ,$

${\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}=\mathrm {const} .$

Wiedząc o stałości powyższego wyrażenia, możemy zapisać równanie

${\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{y_{1}}}.$

Promienie równoległe do osi skupiają się w ognisku soczewki, zatem podstawiając $x_{1}\to \infty$ i $y_{1}\to f,$ dostajemy

${\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {1}{f}}.$

Jest to jedno z wielu możliwych wyprowadzeń tego wzoru.

Wnioski wynikające z równania soczewki

Ze wzoru można odczytać, że gdy $x\to \infty ,$ czyli padające promienie stają się równoległe do osi optycznej, wówczas $y\to f.$ Oznacza to, że promienie po przejściu przez soczewkę skupiają się w odległości $f$ od soczewki, czyli w ognisku. Równanie jest symetryczne ze względu na zamianę $x$ z $y.$ Oznacza to, że można odwrócić bieg promieni i będą poruszały się one po tym samym torze. Jeżeli zatem źródło światła umieszczone zostanie w ognisku, po przejściu przez soczewkę promienie będą równoległe do osi optycznej.

Z równania wywnioskować można również, że w przypadku gdy $x<f,$ $y$ staje się ujemne, co oznacza, że obraz powstaje po tej samej stronie soczewki, po której znajduje się przedmiot (jest to obraz pozorny). Podobnie, gdy ogniskowa $f<0$ (w soczewkach rozpraszających), również $y<0$.

Zastosowanie

Wzór ten jest tylko pewnym przybliżeniem. Jest on dobrze spełniony dla promieni przyosiowych i w przypadku, gdy soczewka jest cienka w porównaniu z odległościami występującymi we wzorze.

Zazwyczaj używa go się do wyznaczania położenia obrazu, gdy znane jest położenie przedmiotu i soczewki. Obowiązuje on również w przypadku zwierciadeł, z tym że odwrotnie niż dla soczewek, $y$ jest dodatnie, gdy obraz powstaje przed zwierciadłem (obraz rzeczywisty) i ujemne, gdy powstaje za zwierciadłem (obraz pozorny). Dla zwierciadła płaskiego $f\to \infty$ i z równania soczewki wynika, że $y=-x$.

Postać Newtona równania soczewki

Równanie soczewki można również zapisać w postaci Newtona

$x_{o}x_{i}=f^{2},$

gdzie:

$x_{o}$ – odległość przedmiotu od ogniska,

$x_{i}$ – odległość obrazu od ogniska.

Bibliografia

• Jurgen R.J.R. Meyer-Arendt Jurgen R.J.R., Introduction to classical and modern optics, Englewood Cliffs, N.J., Prentice-Hall, 1972, ISBN 978-0-13-479436-5 [dostęp 2021-06-23]  (ang.).
• WitoldW. Mizerski WitoldW., Tablice fizyczno-astronomiczne, wyd. 5 zaktualiz., Warszawa: Adamantan, 2013, ISBN 978-83-7350-245-1, OCLC 869924720 [dostęp 2021-06-23] .