Określoność formy

W algebrze liniowej, macierzą dodatnio określoną nazywamy macierz $A\;$ typu $n\times n$, która charakteryzuje się następującą właściwością:

• W przypadku, gdy $A\;$ jest macierzą zespoloną :

$A\;$ jest macierzą hermitowską i dla każdego niezerowego wektora ${\textbf {x}}\in \mathbb {C} ^{n}$ zachodzi:

${\overline {\textbf {x}}}^{T}A{\textbf {x}}>0$.

• W przypadku, gdy $A\;$ jest macierzą rzeczywistą:

$A\;$ jest macierzą symetryczną i dla każdego niezerowego wektora ${\textbf {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$ zachodzi:

${\textbf {x}}^{T}A{\textbf {x}}>0$.

Równoważna definicja mówi, że wszystkie wartości własne macierzy $A\;$ są dodatnie.

Macierze ujemnie i nieujemnie określone

Jeśli dla macierzy hermitowskiej $A\;$ i niezerowego wektora ${\textbf {x}}\in \mathbb {C} ^{n}$ zachodzi:

• ${\overline {\textbf {x}}}^{T}A{\textbf {x}}\geqslant 0$, wówczas $A\;$ jest macierzą nieujemnie określoną (półdodatnio określoną).
• ${\overline {\textbf {x}}}^{T}A{\textbf {x}}<0$, wówczas $A\;$ jest macierzą ujemnie określoną.

Własności

Macierz dodatnio określona jest zawsze odwracalna i jej odwrotność jest również dodatnio określona. Jeśli $A\;$ i $B\;$ są dodatnio określone, to $A+B\;$ jest dodatnio określona.

Dla macierzy dodatnio określonej i symetrycznej $A\;$ istnieje odwracalna macierz $M\;$, taka że:

$MM^{T}=A\,$

czyli, istnieje dla niej rozkład Choleskiego.