Wielokąt foremny

Wielokąt foremny – wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Wielokątem foremnym o najmniejszej możliwej liczbie boków (3) jest trójkąt równoboczny. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany, wyglądałby on jak zwykły odcinek, a kąt między bokami wynosiłby $0^{\circ }\$. Czworokąt foremny to inaczej kwadrat.

Wielokątami foremnymi zajmował się m.in. niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss, który w 1801 odkrył, że n-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą zwykłego cyrkla i linijki (tzw. konstrukcje klasyczne) wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą postaci $2^{k}p_{1}p_{2}\ldots p_{s},$ gdzie $p_{1},\ p_{2},\ \ldots ,\ p_{s}$ są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Twierdzenie to jest dziś znane jako twierdzenie Gaussa-Wantzela.

Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.

Wzory

• $n$ – liczba boków wielokąta foremnego;
• $a$ – długość jednego boku wielokąta.

Wzór na miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) wielokąta foremnego:

$\gamma ={\frac {\pi (n-2)}{n}}\,\!={\frac {180^{\circ }\cdot (n-2)}{n}}$

Wzór na miarę kąta środkowego (czyli kąt, pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka):

$\beta ={\frac {2\pi }{n}}\,\!={\frac {360^{\circ }}{n}}$

Wzór na promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym:

$R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {a}{2}}\operatorname {csc} {\frac {\pi }{n}}$

Wzór na promień koła wpisanego w wielokąt foremny:

$r={\frac {a}{2\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {a}{2}}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}$

Wzór na długość boku wielokąta foremnego przez promienie okręgów opisanego i wpisanego:

$a=2{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}$

$a=2R\sin {\frac {\pi }{n}}$

$a=2r\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}$

Wzór na obwód wielokąta foremnego:

$L=n\cdot a\,$

Wzór na pole powierzchni wielokąta foremnego:

$S={\frac {1}{4}}na^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}={}$

${}={\frac {nar}{2}}={}$

${}=nr^{2}\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}={}$

${}=nR^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}\cos {\frac {\pi }{n}}={}$

${}={\frac {1}{2}}nR^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}$

Wzór na długości przekątnych wielokąta foremnego:

$d_{k}={\frac {a\sin {\frac {(k+1)\pi }{n}}}{\sin {\frac {\pi }{n}}}},$

gdzie $k\in \mathbb {N} ,\ 1\leq k\leq n-3\,$

Wielokąty foremne

Poniżej znajduje się lista najprostszych wielokątów foremnych.

Nazwa	Grafika	Liczba boków	Miara kąta wewnętrznego	Konstruowalny cyrklem i linijką?
Trójkąt równoboczny		3	$60^{\circ }\$	tak
Kwadrat		4	$90^{\circ }\$	tak
Pięciokąt foremny		5	$108^{\circ }\$	tak
Sześciokąt foremny		6	$120^{\circ }\$	tak
Siedmiokąt foremny		7	${128{\tfrac {4}{7}}}^{\circ }\$	tak
Ośmiokąt foremny		8	$135^{\circ }\$	tak
Dziewięciokąt foremny		9	$140^{\circ }\$	tak
Dziesięciokąt foremny		10	$144^{\circ }\$	tak

Zobacz też

• wzór Picka.