Inwolucja (matematyka)

Inwolucja – funkcja, która ma funkcję odwrotną równą jej samej. Równoważnie jest to taka funkcja, która złożona sama ze sobą jest tożsamością.

Z powyższych definicji wynika, że inwolucja musi być funkcją zbioru w ten sam zbiór; jeśli $f\colon X\to X$ jest taką funkcją i dla dowolnego $x\in X$ zachodzi warunek $f(f(x))=x,$ bądź $f\circ f=\mathrm {id} _{X},$ to funkcję tę nazywa się inwolucją (druga definicja uogólnia się w teorii kategorii na morfizmy).

Własności

Inwolucja zbioru

Każda inwolucja, jako funkcja odwracalna, jest bijekcją (w przypadku morfizmów – izomorfizmem). Ponadto dla dowolnego $k\in \mathbb {N}$ jest

$f^{2k}=\mathrm {id} _{X}{\text{ oraz }}f^{2k+1}(x)=f.$

Jeśli $X^{Y}$ oznacza zbiór wszystkich funkcji $X\to Y,$ zaś $i\colon Y\to Y$ jest inwolucją, to funkcja $\mathrm {A} \colon X^{Y}\to X^{Y}$ dana wzorem

$\mathrm {A} (f):=i\circ f$

jest inwolucją. Podobnie jeżeli funkcja $\mathrm {B} \colon Y^{Z}\to Y^{Z}$ zdefiniowana jest wzorem

$\mathrm {B} (g):=g\circ i,$

to jest ona inwolucją (własności te zachodzą dla morfizmów w dowolnej kategorii).

Przykłady

• Trywialnym przykładem inwolucji jest przekształcenie tożsamościowe. Inwolucją jest funkcja $A^{2}\to A^{2},$ czyli kwadratu kartezjańskiego zbioru $A$ w siebie dane wzorem $(x,y)\mapsto (y,x);$ zbiorem jej punktów stałych jest przekątna $\Delta A:=\{(x,x)\colon x\in A\}.$ Wiele inwolucji jest indukowanych przez tę inwolucję, np. transpozycja macierzy (opisana inwolucja jest z kolei indukowana przez transpozycję ciągu dwuelementowego, tzn. zamiany osi).
• Zmiana znaku $x\mapsto -x$ jest inwolucją w dowolnej grupie (w notacji addytywnej), a więc pierścieniu (np. liczb całkowitych) czy ciele (np. liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych); odwrotność $x\mapsto 1/x$ jest inwolucją w grupie elementów odwracalnych (grupie multiplikatywnej ciała, np. liczb wymiernych, rzeczywistych czy zespolonych różnych od zera). Nietrywialną inwolucją liczb zespolonych jest sprzężenie. W rachunku macierzy inwolucjami są transpozycja, sprzężenie, sprzężenie hermitowskie (połączenie transpozycji i sprzężenia) oraz odwracanie macierzy.
• Z punktu widzenia algebry, a w szczególności teorii grup zasadniczo inwolucją nazywa się element rzędu dwa (czasami dopuszcza się też element rzędu pierwszego, czyli element neutralny; wynika to stąd, iż tworzą one podgrupę grupy symetrycznej złożonej ze wszystkich bijekcji ustalonego zbioru). W ten sposób permutacja jest inwolucją wtedy i tylko wtedy, gdy w jej rozkładzie na cykle występują tylko cykle długości 1 i 2; każda permutacja jest złożeniem dwóch inwolucji. Grupy Coxetera to grupy generowane przez inwolucje.
• W geometrii euklidesowej inwolucjami są symetrie (m.in. symetria płaszczyznowa, osiowa, środkowa) oraz inwersja. Inwolucje są obiektem głębokich badań między innymi w topologii rozmaitości; patrz na przykład.
• W teorii zbiorów inwolucjami są różnica symetryczna z ustalonym zbiorem czy dopełnienie zbioru (do przestrzeni), które jest inwolucją także w dowolnej algebrze Boole’a.
• W informatyce inwolucją jest szyfr Rot13.
• W teorii grafów inwolucją na zbiorze grafów planarnych jest graf dualny.

Zobacz też

• działanie grupy na zbiorze