Hipoteza abc

Hipoteza abc (hipoteza Oesterle-Massera, hipoteza ABC) – zagadnienie z teorii liczb. Po raz pierwszy problem został przedstawiony przez Josepha Oesterlé i Davida Massera w 1985 roku^[1].

Sformułowanie problemu

Przed sformułowaniem hipotezy wprowadzić należy kilka pojęć.

Niech dane będą względnie pierwsze liczby całkowite dodatnie $a,b,c$ spełniające równość $a+b=c.$

Zdefiniujemy następujące funkcje:

q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log(\operatorname {rad} (abc))}},

gdzie $\operatorname {rad} (abc)$ oznacza część bezkwadratową iloczynu $abc,$ czyli iloczyn wszystkich różnych liczb pierwszych będących dzielnikami liczb $a,b,c$ (na przykład: $\operatorname {rad} (12\cdot 9\cdot 13)=2\cdot 3\cdot 13=78,$ ponieważ w rozkładzie 12, 9 i 13 na czynniki pierwsze występują tylko 2, 3 i 13).

Wiadomym jest, że istnieje nieskończenie wiele takich trójek liczb $(a,b,c),$ że $q(a,b,c)>1.$ Hipoteza ABC jest natomiast przypuszczeniem, że

Dla każdej liczby

x>1

istnieje co najwyżej skończenie wiele trójek liczb

(a,b,c)

spełniających warunek

q(a,b,c)>x,

czyli, w szczególności, że istnieje skończenie wiele trójek spełniających $q(a,b,c)>1,01,$ $q(a,b,c)>1,001$ itd.

Dowód

W sierpniu 2012 Shinichi Mochizuki opublikował na swojej stronie internetowej ponad 600-stronicową pracę, zawierającą dowód hipotezy ABC^[2]. Dowód jest w trakcie weryfikacji^[3]^[4]. W 2018 roku Peter Scholze i Jakob Stix opublikowali raport ukazujący błędy dowodu. Mochizuki nie zgodził się z krytyką^[5], a 3 kwietnia 2020 na konferencji prasowej w Kioto ogłoszono, że praca ta została zaakceptowana do druku w uczelnianym czasopiśmie naukowym Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences. Kontrowersje budzi jednak fakt, że Mochizuki był jego redaktorem naczelnym. Prawdziwość dowodu wciąż zostaje niepotwierdzona, a zdania na temat jej autentyczności pozostaje sporna^[6]^[5].

Poszukiwania

W 2006 roku na wydziale matematyki Uniwersytetu w Leiden, we współpracy z holenderskim instytutem nauki w Kennislink rozpoczęto projekt ABC@home oparty na przetwarzaniu rozproszonym w infrastrukturze BOINC. Celem projektu jest szukanie trójek $(a,b,c)$ spełniających nierówność $\mathrm {rad} (abc)<c.$

Konsekwencje

W czasie badania hipotezy odkryto wiele ciekawych przypadków w teorii liczb. Oto niektóre z nich:

rozwiązanie twierdzenia Rotha,
udowodnienie wielkiego twierdzenia Fermata (Andrew Wiles, 1993),
udowodnienie hipotezy Mordella (Gerd Faltings, 1983),
kontrprzykłady dla hipotezy Erdősa-Woodsa (z wyjątkiem liczb skończonych),
uogólnienie teorii Tijdemana,
rozwiązanie hipotezy Granville-Langevin,
rozwiązanie zmodyfikowanej hipotezy Szpiro^[1],
w 1996 r. A. Dąbrowski wykazał, że z hipotezy ABC można wyprowadzić rozwiązanie równania Brocarda-Ramanujana^[7] – jest to uogólnienie twierdzenia Overholta^[8].

Przypisy

↑ ^a ^b JosephJ. Oesterlé JosephJ., Nouvelles approches du « théorème » de Fermat, Société Mathématique de France, 1988, s. 165–186, ISSN 0303-1179, OCLC 17422981 .
↑ Shinichi Mochizuki: Inter-Universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations. 2012-08.
↑ PhilipP. Ball PhilipP., Proof claimed for deep connection between primes, „Nature”, 2012, DOI: 10.1038/nature.2012.11378 [dostęp 2024-08-05] (ang.).
↑ BarryB. Cipra BarryB., ABC Proof Could Be Mathematical Jackpot, Science Now, 12 września 2012 [zarchiwizowane 2013-05-14] .
↑ ^a ^b The proof that wasn’t [online], Varsity Online [dostęp 2022-05-06] (ang.).
↑ DavideD. Castelvecchi DavideD., Mathematical proof that rocked number theory will be published, „Nature”, 580 (7802), 2020, s. 177–177, DOI: 10.1038/d41586-020-00998-2 [dostęp 2024-08-05] (ang.).
↑ AndrzejA. Dąbrowski AndrzejA., On the Diophantine Equation x!+ A = y², „Nieuw Archief voor Wiskunde”, 14 (3), 1996, s. 321–324 [dostęp 2024-08-05] (ang.).
↑ MariusM. Overholt MariusM., The Diophantine Equation n! + 1 = m², „Bulletin of the London Mathematical Society”, 25 (2), 1993, s. 104–104, DOI: 10.1112/blms/25.2.104 [dostęp 2024-08-05] (ang.).

Bibliografia

Wiktor Bartol, Witold Sadowski, O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty, Warszawa 2005.

Linki zewnętrzne

Hipoteza ABC, wiw.pl [zarchiwizowane 2015-07-06] .
Historia Twierdzenia Fermata, math.us.edu.pl [zarchiwizowane 2010-04-13] .
Oficjalna strona projektu ABC@home, abcathome.com [zarchiwizowane 2015-11-30] .
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., abc Conjecture, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-07-02].

[:0-1] JosephJ. Oesterlé JosephJ., Nouvelles approches du « théorème » de Fermat, Société Mathématique de France, 1988, s. 165–186, ISSN 0303-1179, OCLC 17422981 .

[2] Shinichi Mochizuki: Inter-Universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations. 2012-08.

[3] PhilipP. Ball PhilipP., Proof claimed for deep connection between primes, „Nature”, 2012, DOI: 10.1038/nature.2012.11378 [dostęp 2024-08-05] (ang.).

[4] BarryB. Cipra BarryB., ABC Proof Could Be Mathematical Jackpot, Science Now, 12 września 2012 [zarchiwizowane 2013-05-14] .

[varsity-5] The proof that wasn’t [online], Varsity Online [dostęp 2022-05-06] (ang.).

[6] DavideD. Castelvecchi DavideD., Mathematical proof that rocked number theory will be published, „Nature”, 580 (7802), 2020, s. 177–177, DOI: 10.1038/d41586-020-00998-2 [dostęp 2024-08-05] (ang.).

[7] AndrzejA. Dąbrowski AndrzejA., On the Diophantine Equation x!+ A = y², „Nieuw Archief voor Wiskunde”, 14 (3), 1996, s. 321–324 [dostęp 2024-08-05] (ang.).

[8] MariusM. Overholt MariusM., The Diophantine Equation n! + 1 = m², „Bulletin of the London Mathematical Society”, 25 (2), 1993, s. 104–104, DOI: 10.1112/blms/25.2.104 [dostęp 2024-08-05] (ang.).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]