Przekształcenie wieloliniowe

Przekształcenie wieloliniowe – funkcja określona na iloczynie kartezjańskim^[a] przestrzeni liniowych w daną przestrzeń liniową (nad ustalonym ciałem), która jest liniowa ze względu na każdy argument z osobna. Jeżeli docelową przestrzeń liniową zastąpi się ciałem, nad którymi zbudowane są przestrzenie liniowe dziedziny, to tego rodzaju funkcje te nazywa się formami wieloliniowymi. Jeśli liczba czynników w dziedzinie jest ustalona, równa $n,$ to mówi się wtedy odpowiednio o przekształceniach i formach $n$ -liniowych; struktura tych przekształceń jest dobrze znana z uwagi na ich izomorficzność z przekształceniami liniowymi uzyskaną za pomocą konstrukcji iloczynu tensorowego (zob. Uogólnienia).

Pojęcie to uogólnia się bezpośrednio na moduły (nad ustalonym pierścieniem przemiennym) i to właśnie w ich kontekście zostanie ono opisane w tym artykule.

Potęga kartezjańska

Zobacz też: funkcja symetryczna, funkcja antysymetryczna i funkcja alternująca.

Niech dane będą: (niekoniecznie wieloliniowe) przekształcenie $\mathrm {f} \colon M^{n}\to N,$ gdzie $M,N$ są dowolnymi modułami nad pierścieniem przemiennym $R,$ gdzie $n\geqslant 1,$ oraz permutacja $\sigma$ należąca do grupy symetrycznej $S_{n}.$ Zamiana argumentów funkcji $\mathrm {f}$ miejscami zgodnie z porządkiem wyznaczonym przez $\sigma$ daje inną funkcję $M^{n}\to N$ daną wzorem $({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})\mapsto \mathrm {f} \left({\mathsf {m}}_{\sigma (1)},\dots ,{\mathsf {m}}_{\sigma (n)}\right)$ ^[b]. Funkcję $\mathrm {f}$ nazywa się odpowiednio

symetryczną, gdy nie zmienia znaku przy dowolnej permutacji,
$\mathrm {f} \left({\mathsf {m}}_{\sigma (1)},\dots ,{\mathsf {m}}_{\sigma (n)}\right)=\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n}){\text{ dla dowolnej }}\sigma \in S_{n};$
antysymetryczną, gdy zachowuje znak przy permutacji parzystej i zmienia go na przeciwny przy nieparzystej,
$\mathrm {f} \left({\mathsf {m}}_{\sigma (1)},\dots ,{\mathsf {m}}_{\sigma (n)}\right)=(\operatorname {sgn} \;\sigma )\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n}){\text{ dla dowolnej }}\sigma \in S_{n};$
alternującą, gdy znika przy równych choć dwóch argumentach,
$\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})={\mathsf {0}},{\text{ o ile }}{\mathsf {m}}_{i}={\mathsf {m}}_{j}{\text{ dla }}i\neq j{\text{ oraz }}n\geqslant 2.$

W powyższych definicjach zmienne indeksowane są kolejno liczbami $1,2,\dots ,n,$ jednakże własności te nie zależą od użytego porządku liczb naturalnych^[c]. Jeżeli $n\geqslant 2,$ to przekształcenie wieloliniowe $\mathrm {f} \colon M^{n}\to N,$ które jest alternujące, jest również antysymetryczne^[d]; w ogólności dla $n\geqslant 2$ dowolna funkcja $\mathrm {f} \colon M^{n}\to N$ jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy

\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{i-1},{\mathsf {m}}_{i},{\mathsf {m}}_{i+1},{\mathsf {m}}_{i+2},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})=-\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{i-1},{\mathsf {m}}_{i+1},{\mathsf {m}}_{i},{\mathsf {m}}_{i+2},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})

oraz alternująca wtedy i tylko wtedy, gdy

\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{i},{\mathsf {m}}_{i+1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})={\mathsf {0}},{\text{ o ile }}{\mathsf {m}}_{i}={\mathsf {m}}_{i+1}

dla $i=1,\dots ,n-1$ ^[e]. Istnieją przekształcenia wieloliniowe, które są antysymetryczne, ale nie alternujące (zob. Przykłady); jednakże jeśli $2$ jest jednością pierścienia, to zachodzi odwrócenie poprzedniego twierdzenia^[f] – oznacza to, że w przypadu pierścieni takich jak ciało liczb rzeczywistych, czy zespolonych terminy „antysymetryczność” i „alternacyjność” można stosować wymiennie.

Zbiór wszystkich funkcji $M^{n}\to N$ tworzy moduł nad pierścieniem $R,$ a przekształcenia wieloliniowe $M^{n}\to N$ tworzą podmoduł wspomnianego modułu^[g]; ponadto zbiór przekształceń wieloliniowych ustalonego rodzaju (tzn. symetrycznych, antysymetrycznych, czy alternujących) jest podmodułem tego podmodułu^[h] (zob. przestrzeń funkcyjna).

Przykłady

Funkcja $\mathrm {Mat} _{n}(R)\times \mathrm {Mat} _{n}(R)\to R$ dana wzorem $(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )\mapsto \mathrm {tr} (\mathbf {AB} )$ jest symetryczna. Funkcja $R^{2}\times R^{2}\to R$ przekształcająca ${\big (}\scriptstyle {\binom {a}{c}}\displaystyle ,\scriptstyle {\binom {b}{d}}\displaystyle {\big )}\mapsto ad-bc$ (por. wyznacznik^[i]) jest antysymetryczna i alternująca; podobnie jak iloczyn wektorowy $\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ,$ czy jego zespolony odpowiednik $\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {R}$ odwzorowujący $(z,w)\mapsto \mathrm {im} \left(z{\overline {w}}\right).$ Jeżeli $R$ zawiera $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,$ czyli $1=-1$ w $R,$ to mnożenie $R\times R\to R$ jest symetryczne, antysymetryczne, lecz nie jest alternujące.

Uogólnienia

Jeśli przekształcenie $\mathrm {f} \colon M^{n}\to N$ jest wieloliniowe, a $\mathrm {g} \colon N\to P$ jest liniowe, to ich złożenie $\mathrm {g} \circ \mathrm {f}$ również jest wieloliniowe, a ponadto jeżeli $\mathrm {f}$ było symetryczne, antysymetryczne lub alternujące, to $\mathrm {g} \circ \mathrm {f}$ ma tę samą własność. W ten sposób można tworzyć nowe przekształcenia wieloliniowe (symetryczne, antysymetryczne, czy alternujące), składając istniejące z przekształceniami liniowymi; $n$ -te przekształcenie tensorowe $\otimes \colon M^{n}\to M^{\otimes n}$ odwzorowujące $({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})$ w ${\mathsf {m}}_{1}\otimes \ldots \otimes {\mathsf {m}}_{n},$ jest szczególnym przypadkiem przekształcenia wieloliniowego na $M^{n},$ a każde inne pochodzi od niego (zob. iloczyn tensorowy modułów). W ogólności konstrukcja ta może być wykonana dla dowolnych $R$ -modułów – istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między przekształceniami wieloliniowymi $\mathrm {f} \colon M_{1}\times \ldots \times M_{n}\to N$ oraz przekształceniami liniowymi $\mathrm {F} \colon M_{1}\otimes \ldots \otimes M_{n}\to N$ dana wzorem

\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})=\mathrm {F} ({\mathsf {m}}_{1}\otimes \ldots \otimes {\mathsf {m}}_{n}).

Ograniczenie się do tych samych modułów w dziedzinie umożliwia rozpatrywanie alternujących przekształceń wieloliniowych (permutowanie argumentów ma sens tylko wtedy, gdy pochodzą one z tego samego modułu), dlatego konstrukcja algebry zewnętrznej możliwa jest tylko na potędze kartezjańskiej.

Jeśli $X_{1},\dots ,X_{n},Y$ są przestrzeniami unormowanymi nad ustalonym ciałem, to można mówić wtedy o ograniczoności przekształcenia wieloliniowego $\mathrm {f} \colon X_{1}\times \ldots \times X_{n}\to Y,$ która pociąga jego ciągłość (zob. ograniczone przekształcenie liniowe); wspomniane przekształcenie jest ograniczone wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka stała rzeczywista $C>0,$ że dla każdego wektora $(\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n})\in X_{1}\times \ldots \times X_{n}$ zachodzi

{\big \|}\mathrm {f} (\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}){\big \|}\leqslant C\|\mathbf {x} _{1}\|\dots \|\mathbf {x} _{n}\|.

Zobacz też

Uwagi

↑ Właściwie: iloczynie prostym bądź sumie prostej – w przypadku skończenie wielu czynników/składników konstrukcje te są równoważne (tzn. izomorficzne).
↑ Nową funkcję można postrzegać jako efekt działania $\sigma$ na $\mathrm {f} ,$ co można zapisać $(\sigma \cdot \mathrm {f} )({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n});$ zob. działanie grupy na zbiorze. Wówczas $\sigma _{1}\cdot (\sigma _{2}\cdot \mathrm {f} )$ jest równe $(\sigma _{2}\sigma _{1})\cdot \mathrm {f} ,$ nie zaś $(\sigma _{1}\sigma _{2})\cdot \mathrm {f} ,$ co oznacza, że działanie grupy $S_{n}$ na zbiorze funkcji $M^{n}\to N$ jest prawostronne, a nie lewostronne.
↑
Twierdzenie: Jeśli $\mathrm {f}$ $\mathrm {f}$ jest
- symetryczna, to $\mathrm {f} \left({\mathsf {m}}_{\sigma (i_{1})},\dots ,{\mathsf {m}}_{\sigma (i_{n})}\right)=\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{i_{1}},\dots ,{\mathsf {m}}_{i_{n}}){\text{ dla dowolnej }}\sigma \in S_{n},$
- antysymetryczna, to $\mathrm {f} \left({\mathsf {m}}_{\sigma (i_{1})},\dots ,{\mathsf {m}}_{\sigma (i_{n})}\right)=(\operatorname {sgn} \;\sigma )\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{i_{1}},\dots ,{\mathsf {m}}_{i_{n}}){\text{ dla dowolnej }}\sigma \in S_{n},$
- alternująca, to $\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{i_{1}},\dots ,{\mathsf {m}}_{i_{n}})={\mathsf {0}},{\text{ o ile }}{\mathsf {m}}_{i_{s}}={\mathsf {m}}_{i_{t}}{\text{ dla }}i_{s}\neq i_{t}{\text{ oraz }}n\geqslant 2$
dla dowolnego uporządkowania $i_{1},\dots ,i_{n}$ $i_{1},\dots ,i_{n}$ liczb $1,\dots ,n.$ $1,\dots ,n.$
Dowód: Uporządkowanie $i_{1},\dots ,i_{n}$ liczb naturalnych $1,\dots ,n$ stanowi permutację zbioru z nich złożonego oznaczaną dalej $\iota ,$ tj. $\iota (1)=i_{1},\dots ,\iota (n)=i_{n}.$ Jeżeli $\mathrm {f}$ jest antysymetryczna, to $\mathrm {f} \left({\mathsf {m}}_{i_{1}},\dots ,{\mathsf {m}}_{i_{n}}\right)=\mathrm {f} \left({\mathsf {m}}_{\iota (1)},\dots ,{\mathsf {m}}_{\iota (n)}\right)=(\operatorname {sgn} \;\iota )\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n}),$ stąd dla dowolnej $\sigma \in S_{n}$ zachodzi

$\mathrm {f} \left({\mathsf {m}}_{\sigma (i_{1})},\dots ,{\mathsf {m}}_{\sigma (i_{n})}\right)=\mathrm {f} \left({\mathsf {m}}_{(\sigma \iota )(1)},\dots ,{\mathsf {m}}_{(\sigma \iota )(n)}\right)=\operatorname {sgn}(\sigma \iota )\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})=\operatorname {sgn}(\sigma )\operatorname {sgn}(\iota )\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})=\operatorname {sgn}(\sigma )\mathrm {f} \left({\mathsf {m}}_{i_{1}},\dots ,{\mathsf {m}}_{i_{n}}\right).$

Podobnie dowodzi się niezależności dla symetryczności i alternacyjności.
↑ Przypadek $n=2$ opisano w artykule o formach dwuliniowych (zob. dowód). Zupełnie jak wyżej, dla dowolnych permutacji $\pi ,\varrho \in S_{n}$ zachodzi $\mathrm {f} \left({\mathsf {m}}_{(\pi \varrho )(1)},\dots ,{\mathsf {m}}_{(\pi \varrho )(n)}\right)=\operatorname {sgn}(\pi )\operatorname {sgn}(\varrho )\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n}),$ zatem definicję antysymetryczności wystarczy sprawdzić dla $\sigma$ generujących $S_{n},$ np. transpozycji postaci $(i\ i\!\!+\!\!1);$ innymi słowy należy pokazać, że dla $({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})\in M^{n}$ dowolne wieloliniowe przekształcenie alternujące $\mathrm {f} \colon M^{n}\to N$ spełnia $\mathrm {f} (\dots ,{\mathsf {m}}_{i-1},{\mathsf {m}}_{i},{\mathsf {m}}_{i+1},{\mathsf {m}}_{i+2},\dots )=-\mathrm {f} (\dots ,{\mathsf {m}}_{i-1},{\mathsf {m}}_{i+1},{\mathsf {m}}_{i},{\mathsf {m}}_{i+2},\dots ).$ Wystarczy w tym wypadku rozpatrzeć przekształcenie dwuliniowe $\mathrm {g} ({\mathsf {x}},{\mathsf {y}})=\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{i-1},{\mathsf {x}},{\mathsf {y}},{\mathsf {m}}_{i+2},\dots ,{\mathsf {m}}_{n}),$ która jest alternujące: z przypadku $n=2$ jest ona antysymetryczne, $\mathrm {g} ({\mathsf {x}},{\mathsf {y}})=-\mathrm {g} ({\mathsf {y}},{\mathsf {x}}),$ co dowodzi tezy.
↑ W poprzednim dowodzie dla antysymetryczności nie wykorzystywano (wielo)liniowości, zatem jest on poprawny dla wszystkich funkcji. Jeśli $\mathrm {f}$ znika dla dowolnego układu argumentów, z których dwa sąsiadujące są sobie równe, to $\mathrm {f}$ jest antysymetryczna, co właśnie udowodniono; stąd wartość $\mathrm {f}$ dla układu argumentów, z których dwa są sobie równe, jest co do znaku równa wartości dla układu argumentów, z których dwa sąsiadujące są sobie równe – z założenia wartość ta wynosi ${\mathsf {0}}.$
↑ Twierdzenie: Niech $n\geqslant 2;$ jeżeli $2\in R^{*},$ to przekształcenie wieloliniowe $\mathrm {f} \colon M^{n}\to N,$ które jest antysymetryczne, jest również alternujące.
Dowód: Dla ustalenia uwagi zamiast dowolnych, różnych ${\mathsf {m}}_{i},{\mathsf {m}}_{j}$ zostaną rozważone ${\mathsf {m}}_{1},{\mathsf {m}}_{2}.$ Z antysymetrii $\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{2},{\mathsf {m}}_{1},{\mathsf {m}}_{3},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})=-\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},{\mathsf {m}}_{2},{\mathsf {m}}_{3},\dots ,{\mathsf {m}}_{n}),$ stąd $\mathrm {f} ({\mathsf {m}},{\mathsf {m}},{\mathsf {m}}_{3},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})=-\mathrm {f} ({\mathsf {m}},{\mathsf {m}},{\mathsf {m}}_{3},\dots ,{\mathsf {m}}_{n}),$ zatem $2\mathrm {f} ({\mathsf {m}},{\mathsf {m}},{\mathsf {m}}_{3},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})={\mathsf {0}},$ a skoro $2\in R^{*},$ to $\mathrm {f} ({\mathsf {m}},{\mathsf {m}},{\mathsf {m}}_{3},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})={\mathsf {0}}.$
.
↑ W istocie moduły będące czynnikami iloczynu kartezjańskiego mogą być parami różne. Jeśli $\mathrm {f} ,\mathrm {g} M_{1}\times \ldots \times M_{n}\to N$ są przekształceniami wieloliniowymi między iloczynem kartezjańskim modułów a ustalonym modułem nad wspólnym pierścieniem $R,$ to określone punktowo odwzorowania $\mathrm {f} +\mathrm {g}$ oraz $r\mathrm {f}$ dla $r\in R$ również są przekształceniami wieloliniowymi.
↑ Wynika to wprost z definicji wspomnianych rodzajów przekształceń oraz funkcji dodawania i mnożenia przez skalar określonych punktowo.
↑ Podobnie do niego definiowany permanent jest symetryczny.

Bibliografia

Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.

[1] Właściwie: iloczynie prostym bądź sumie prostej – w przypadku skończenie wielu czynników/składników konstrukcje te są równoważne (tzn. izomorficzne).

[2] Nową funkcję można postrzegać jako efekt działania $\sigma$ na $\mathrm {f} ,$ co można zapisać $(\sigma \cdot \mathrm {f} )({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n});$ zob. działanie grupy na zbiorze. Wówczas $\sigma _{1}\cdot (\sigma _{2}\cdot \mathrm {f} )$ jest równe $(\sigma _{2}\sigma _{1})\cdot \mathrm {f} ,$ nie zaś $(\sigma _{1}\sigma _{2})\cdot \mathrm {f} ,$ co oznacza, że działanie grupy $S_{n}$ na zbiorze funkcji $M^{n}\to N$ jest prawostronne, a nie lewostronne.

[3] Twierdzenie: Jeśli $\mathrm {f}$ jest
symetryczna, to $\mathrm {f} \left({\mathsf {m}}_{\sigma (i_{1})},\dots ,{\mathsf {m}}_{\sigma (i_{n})}\right)=\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{i_{1}},\dots ,{\mathsf {m}}_{i_{n}}){\text{ dla dowolnej }}\sigma \in S_{n},$

antysymetryczna, to $\mathrm {f} \left({\mathsf {m}}_{\sigma (i_{1})},\dots ,{\mathsf {m}}_{\sigma (i_{n})}\right)=(\operatorname {sgn} \;\sigma )\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{i_{1}},\dots ,{\mathsf {m}}_{i_{n}}){\text{ dla dowolnej }}\sigma \in S_{n},$

alternująca, to $\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{i_{1}},\dots ,{\mathsf {m}}_{i_{n}})={\mathsf {0}},{\text{ o ile }}{\mathsf {m}}_{i_{s}}={\mathsf {m}}_{i_{t}}{\text{ dla }}i_{s}\neq i_{t}{\text{ oraz }}n\geqslant 2$
dla dowolnego uporządkowania $i_{1},\dots ,i_{n}$ liczb $1,\dots ,n.$
Dowód: Uporządkowanie $i_{1},\dots ,i_{n}$ liczb naturalnych $1,\dots ,n$ stanowi permutację zbioru z nich złożonego oznaczaną dalej $\iota ,$ tj. $\iota (1)=i_{1},\dots ,\iota (n)=i_{n}.$ Jeżeli $\mathrm {f}$ jest antysymetryczna, to $\mathrm {f} \left({\mathsf {m}}_{i_{1}},\dots ,{\mathsf {m}}_{i_{n}}\right)=\mathrm {f} \left({\mathsf {m}}_{\iota (1)},\dots ,{\mathsf {m}}_{\iota (n)}\right)=(\operatorname {sgn} \;\iota )\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n}),$ stąd dla dowolnej $\sigma \in S_{n}$ zachodzi

$\mathrm {f} \left({\mathsf {m}}_{\sigma (i_{1})},\dots ,{\mathsf {m}}_{\sigma (i_{n})}\right)=\mathrm {f} \left({\mathsf {m}}_{(\sigma \iota )(1)},\dots ,{\mathsf {m}}_{(\sigma \iota )(n)}\right)=\operatorname {sgn}(\sigma \iota )\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})=\operatorname {sgn}(\sigma )\operatorname {sgn}(\iota )\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})=\operatorname {sgn}(\sigma )\mathrm {f} \left({\mathsf {m}}_{i_{1}},\dots ,{\mathsf {m}}_{i_{n}}\right).$

Podobnie dowodzi się niezależności dla symetryczności i alternacyjności.

[4] symetryczna, to $\mathrm {f} \left({\mathsf {m}}_{\sigma (i_{1})},\dots ,{\mathsf {m}}_{\sigma (i_{n})}\right)=\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{i_{1}},\dots ,{\mathsf {m}}_{i_{n}}){\text{ dla dowolnej }}\sigma \in S_{n},$

[5] tysymetryczna, to $\mathrm {f} \left({\mathsf {m}}_{\sigma (i_{1})},\dots ,{\mathsf {m}}_{\sigma (i_{n})}\right)=(\operatorname {sgn} \;\sigma )\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{i_{1}},\dots ,{\mathsf {m}}_{i_{n}}){\text{ dla dowolnej }}\sigma \in S_{n},$

[6] ternująca, to $\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{i_{1}},\dots ,{\mathsf {m}}_{i_{n}})={\mathsf {0}},{\text{ o ile }}{\mathsf {m}}_{i_{s}}={\mathsf {m}}_{i_{t}}{\text{ dla }}i_{s}\neq i_{t}{\text{ oraz }}n\geqslant 2$

[4] Przypadek $n=2$ opisano w artykule o formach dwuliniowych (zob. dowód). Zupełnie jak wyżej, dla dowolnych permutacji $\pi ,\varrho \in S_{n}$ zachodzi $\mathrm {f} \left({\mathsf {m}}_{(\pi \varrho )(1)},\dots ,{\mathsf {m}}_{(\pi \varrho )(n)}\right)=\operatorname {sgn}(\pi )\operatorname {sgn}(\varrho )\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n}),$ zatem definicję antysymetryczności wystarczy sprawdzić dla $\sigma$ generujących $S_{n},$ np. transpozycji postaci $(i\ i\!\!+\!\!1);$ innymi słowy należy pokazać, że dla $({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})\in M^{n}$ dowolne wieloliniowe przekształcenie alternujące $\mathrm {f} \colon M^{n}\to N$ spełnia $\mathrm {f} (\dots ,{\mathsf {m}}_{i-1},{\mathsf {m}}_{i},{\mathsf {m}}_{i+1},{\mathsf {m}}_{i+2},\dots )=-\mathrm {f} (\dots ,{\mathsf {m}}_{i-1},{\mathsf {m}}_{i+1},{\mathsf {m}}_{i},{\mathsf {m}}_{i+2},\dots ).$ Wystarczy w tym wypadku rozpatrzeć przekształcenie dwuliniowe $\mathrm {g} ({\mathsf {x}},{\mathsf {y}})=\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{i-1},{\mathsf {x}},{\mathsf {y}},{\mathsf {m}}_{i+2},\dots ,{\mathsf {m}}_{n}),$ która jest alternujące: z przypadku $n=2$ jest ona antysymetryczne, $\mathrm {g} ({\mathsf {x}},{\mathsf {y}})=-\mathrm {g} ({\mathsf {y}},{\mathsf {x}}),$ co dowodzi tezy.

[5] W poprzednim dowodzie dla antysymetryczności nie wykorzystywano (wielo)liniowości, zatem jest on poprawny dla wszystkich funkcji. Jeśli $\mathrm {f}$ znika dla dowolnego układu argumentów, z których dwa sąsiadujące są sobie równe, to $\mathrm {f}$ jest antysymetryczna, co właśnie udowodniono; stąd wartość $\mathrm {f}$ dla układu argumentów, z których dwa są sobie równe, jest co do znaku równa wartości dla układu argumentów, z których dwa sąsiadujące są sobie równe – z założenia wartość ta wynosi ${\mathsf {0}}.$

[6] Twierdzenie: Niech $n\geqslant 2;$ jeżeli $2\in R^{*},$ to przekształcenie wieloliniowe $\mathrm {f} \colon M^{n}\to N,$ które jest antysymetryczne, jest również alternujące.
Dowód: Dla ustalenia uwagi zamiast dowolnych, różnych ${\mathsf {m}}_{i},{\mathsf {m}}_{j}$ zostaną rozważone ${\mathsf {m}}_{1},{\mathsf {m}}_{2}.$ Z antysymetrii $\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{2},{\mathsf {m}}_{1},{\mathsf {m}}_{3},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})=-\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},{\mathsf {m}}_{2},{\mathsf {m}}_{3},\dots ,{\mathsf {m}}_{n}),$ stąd $\mathrm {f} ({\mathsf {m}},{\mathsf {m}},{\mathsf {m}}_{3},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})=-\mathrm {f} ({\mathsf {m}},{\mathsf {m}},{\mathsf {m}}_{3},\dots ,{\mathsf {m}}_{n}),$ zatem $2\mathrm {f} ({\mathsf {m}},{\mathsf {m}},{\mathsf {m}}_{3},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})={\mathsf {0}},$ a skoro $2\in R^{*},$ to $\mathrm {f} ({\mathsf {m}},{\mathsf {m}},{\mathsf {m}}_{3},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})={\mathsf {0}}.$
.

[7] W istocie moduły będące czynnikami iloczynu kartezjańskiego mogą być parami różne. Jeśli $\mathrm {f} ,\mathrm {g} M_{1}\times \ldots \times M_{n}\to N$ są przekształceniami wieloliniowymi między iloczynem kartezjańskim modułów a ustalonym modułem nad wspólnym pierścieniem $R,$ to określone punktowo odwzorowania $\mathrm {f} +\mathrm {g}$ oraz $r\mathrm {f}$ dla $r\in R$ również są przekształceniami wieloliniowymi.

[8] Wynika to wprost z definicji wspomnianych rodzajów przekształceń oraz funkcji dodawania i mnożenia przez skalar określonych punktowo.

[9] Podobnie do niego definiowany permanent jest symetryczny.

[a]

[b]

[c]

[d]

[e]

[f]

[g]

[h]

[i]