Homeomorfizm

Kubek i torus są homeomorficzne – można przekształcić jeden w drugi bez rozrywania i sklejania.

Homeomorfizm – w topologii, bijekcja pomiędzy przestrzeniami topologicznymi, która jest ciągła oraz której funkcja odwrotna jest również ciągła. Homeomorfizmy, nazywane czasami izomorfizmami topologicznymi, są izomorfizmami w kategorii przestrzeni topologicznych. O przestrzeniach pomiędzy, którymi istnieje homeomorfizm mówi się, że są homeomorficzne. Z punktu widzenia topologii, przestrzenie takie są nierozróżnialne.

Definicja homeomorfizmu

Niech $(X,\tau _{X})\,$ oraz $(Y,\tau _{Y})\,$ będą dwiema przestrzeniami topologicznymi. Funkcję

$f\colon X\to Y$

nazywa się homeomorfizmem, gdy:

1. f jest funkcją różnowartościową,
2. $f(X)=Y\,$, czyli f jest funkcją "na",
3. f jest funkcją ciągłą,
4. $f^{-1}\colon Y\to X$ jest funkcją ciągłą.

Uwaga

Założenie ciągłości funkcji odwrotnej w powyższej definicji jest konieczne, ponieważ istnieją nieciągłe funkcje odwrotne do ciągłych bijekcji.

Niech $S^{1}$ będzie okręgiem jednostkowym z topologią dziedziczoną z płaszczyzny oraz niech

$f\colon [0;\ 2\pi )\to S^{1}$

będzie funkcją daną wzorem

$f(\phi )=(\cos \phi ,\ \sin \phi )\quad (\phi \in [0,2\pi ))$.

Funkcja f jest ciągła i bijektywna. Jednak jej funkcja odwrotna nie jest ciągła w punkcie (1,0), gdyż $f^{-1}((1,0))=0$, ale obraz żadnego otwartego łuku otaczającego punkt (1,0) nie jest zawarty w otoczeniu $[0;{\tfrac {1}{2}})$ punktu $\phi =0$.

Homeomorfizm a homotopia

Homeomorfizm różni się od homotopii tym, że ta ostatnia wymaga istnienia ciągłego przejścia między dwiema przestrzeniami topologicznymi, zaś dla istnienia homeomorfizmu wystarczy, że istnieje funkcja, przekształcająca jedną przestrzeń w drugą. Animacja pokazana u góry strony jest de facto homotopią.

Obraz siatki prostokątnej na kwadracie w przekształceniu homeomorficznym kwadratu na siebie. Intuicyjnie: przekształcenie to polega na zdeformowaniu siatki prostokątnej bez rozrywania i klejenia. Deformacja ta jest funkcją klasy $C^{1}$ - tzn. jest ciągła i jej pochodna jest ciągła - jest to dyfeomorfizmem. (Dyfeomerfizmem nie byłaby deformacja z tworzeniem ostrych zagięć, choć byłby to homeomorfizm). Homeomorfizm ten implikuje istnienie homotopii, gdyż można w sposób ciągły przejść od pierwotnej siatki do zniekształconej. Homeomorfizm ten nie jest izometrią, gdyż odległości punktów pierwotnej siatki ulegają zmianie.

Przykłady:

1) Istnieje homeomorfizm między torusem a węzłem, ale nie istnieje homotopia między nimi (bo nie da się przekształcić węzła w torus w sposób analogiczny, jak w torus przekształcić można kubek).

2) Przekształcenie płaskiej kartki w rulon jest homeomorfizmem; istnieje ciągłe przejście od płaskiej kartki do zwiniętej - jest to homotopia.

3) Wgniecenie płaskiej membrany bębna jest homeomorfizmem; proces przekształcania jest homotopią.

Homeomorfizm a dyfeomorfizm

Szczególnym przypadkiem homeomorfizmu jest dyfeomorfizm. Homeomorfizm nie musi mieć ciągłej pochodnej, dyfeomorfizm zaś jest homeomorfizmem, a przy tym wszystkie jego pochodne muszą być ciągłe.

Homeomorfizm jest więc najogólniejszą klasą przekształceń ciągłych, jakie istnieją między przestrzeniami topologicznymi. Dla istnienia homeomorfizmu wymagane jest, by przekształcenie było conamniej klasy ciągłości $C^{0}$.

Przykład:

Może przekształcać torus (rozmaitość o gładkiej powierzchni) w kubek (rozmaitość o powierzchniach z zagięciami). Przekształcenie takie jest homeomorfizmem, ale nie jest dyfeomorfizmem, gdyż w punktach zagięć pochodna ma nieciągłość, np. pochodna liczona wzdłuż krzywej przechodzącej przez zagięcie. Dlatego też homeomorfizm torusa w kubek nie ma w każdym punkcie ciągłej pochodnej.

Homeomorfizm a izometria

Homeomorfizm w ogólności nie zachowuje odległości między punktami (gdyż dopuszcza dowolne rozciąganie i ściskanie), w odróżnieniu od izometrii. Izometria jest więc szczególnym przypadkiem homeomorfizmu.

Przykłady:

1) Przekształcenie płaskiej kartki w rulon jest homeomorfizmem. Jednocześnie jest to izomorfizm, gdyż odległości miedzy punktami rulona - mierzone wzdłuż linii leżących na rulonie - są identyczne jak w rozwiniętej kartce.

2) Wgniecenie płaskiej membrany bębna jest homeomorfizmem, ale nie jest izometrią.

Twierdzenia o homeomorfizmach

Wprost z definicji homeomorfizmu wynikają twierdzenia:

• Złożenie homeomorfizmów jest homeomorfizmem.
• Funkcja odwrotna do homeomorfizmu jest homeomorfizmem.
• Każda funkcja tożsamościowa jest homeomorfizmem, o ile na dziedzinie i przeciwdziedzinie rozważana jest ta sama topologia.

Niezmienniki topologiczne

Niezmienniki topologiczne to własności przestrzeni topologicznych, które są zachowywane przy przekształceniach homeomorficznych.

Do niezmienników należą m.in. domkniętość, otwartość, zwartość, ośrodkowość, spójność, charakterystyka Eulera.

Niezmienniki służą jako narzędzie do badania rozmaitości topologicznych. Np.

• jeżeli rozmaitości mają różne charakterystyki Eulera, to są topologicznie różne,
• jeżeli rozmaitości mają taką samą charakterystykę Eulera, to nie przesądza, czy są identyczne czy nie (np. butelka Kleina i wstęga Möbiusa mają charakterystykę Eulera równą 0, ale ne są równoważne topologicznie).

Przykłady przestrzeni homeomorficznych

1. Okrąg jest homeomorficzny z dowolną łamaną zamkniętą zwyczajną.
2. Okrąg nie jest homeomorficzny z żadnym odcinkiem (przedziałem).
   Dowód Niech między odcinkiem i okręgiem istnieje pewien homeomorfizm. Ustalamy dowolny punkt z wnętrza odcinka i obetnijmy dziedzinę tej funkcji o ten punkt. Obcięta funkcja jest dalej bijekcją ciągłą obustronnie. Jest więc homeomorfizmem. Ale odcinek z usuniętym punktem jest niespójny, okrąg z usuniętym obrazem tego punktu jest dalej spójny, wbrew temu, że homeomorfizmem zachowuje spójność/niespójność. Stąd wskazana funkcja ne jest homeomorfizmem, cnd.
   Uwaga Jeśli odcinek jest obustronnie lub jednostronnie otwarty, to można skorzystać z własności, że homeomorfizm zachowuje zwartość, z czego wynika, iż taki odcinek nie może być homeomorficzny z okręgiem, który jest zwarty.
3. Koło jest homeomorficzne z dowolnym wielokątem.
4. Dowolne dwa odcinki otwarte są homeomorficzne ze sobą.
5. Dowolny odcinek otwarty jest homeomorficzny z całą prostą.
6. Sfera (powierzchnia trójwymiarowej kuli) jest homeomorficzna z powierzchnią dowolnego wielościanu.
7. Żadne dwie powierzchnie spośród następujących nie są homeomorficzne: koło, sfera, pierścień kołowy, powierzchnia torusa.
8. Żaden odcinek jednostronnie domknięty nie jest homeomorficzny z żadnym odcinkiem obustronnie otwartym ani obustronnie domkniętym.

Uwagaː

Intuicyjnie można sprawdzić, czy dwie przestrzenie są homeomorficzne, próbując (lub wyobrażając sobie) deformować jedną figurę tak, by otrzymać drugą. Deformacje zachowują niezmienniki topologiczne, dlatego istnienie takiej deformacji jest jednoznaczne z istnieniem homeomorfizmu, a jej brak - z brakiem homeomorfizmu (zobacz animację u góry strony). Sferę można zdeformować w wielościan. Ale nie da się sfery zdeformować w torus.

Zanurzenie homeomorficzne

Zanurzeniem homeomorficznym przestrzeni X w przestrzeń Y nazywa się homeomorfizm $f\colon X\to L\subseteq Y$ przestrzeni $X$ z podprzestrzenią $L$ przestrzeni $Y$.

Jeśli istnieje zanurzenie homeomorficzne przestrzeni X w Y, to mówi się, że X jest zanurzalna w Y.

Przykładː

Okrąg $O$ (lub inną krzywą zamkniętą) można "zanurzyć" w dowolną powierzchnię 2-wymiarową poprzez rzutowanie go tak, by rzut był krzywą $\gamma$ zamkniętą w postaci pojedynczej "pętli". Taki rzut jest homeomorfizmem $f:O\to \gamma$.

Sprzężenie topologiczne homeomorfizmów

Dwa homeomorfizmy $\varphi ,\;\psi \colon X\to X$ nazywane są topologicznie sprzężonymi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki homeomorfizm $\varrho \colon X\to X$, że

$\varphi \circ \varrho =\varrho \circ \psi$

Typ topologiczny

W dowolnej rodzinie przestrzeni topologicznych relacja homeomorficzności między dowolnymi dwiema przestrzeniami topologicznymi tej rodziny jest relacją równoważności, dzieląc rodzinę na rozłączne podzbiory

Klasę abstrakcji tej relacji nazywa się typem topologicznym.

Przykład - typy topologiczne

Zbiór liter i cyfr (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, F, G, H, I, J, K, L, Ł, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z) stanowi rodzinę przestrzeni topologicznych; każda litera stanowi inną przestrzeń topologiczną. Zbiór ten można podzielić na podzbiory - typy topologiczneː

• 1, 2, 3, 5, 7, I, C, G, J, L, M, N, S, U, V, W, Z - 1 gałąź
• E, F, T, Y - 3 gałęzie
• Ł, X - 4 gałęzie
• H - 5 gałęzi
• O, D - 0 gałęzi, 1 pętla
• 8 - 0 gałęzi, 2 pętle, 1 wierzchołek
• B - 0 gałęzi, 2 pętle, 2 wierzchołki
• P, 6, 9 - 1 gałąź, 1 pętla
• Q, 4 - 2 gałęzie, 1 pętla, 1 wierzchołek
• A, R - 2 gałęzie, 1 pętla, 2 wierzchołki

Każdą z liter danego typu można przekształcić w inną literę tego samego typu przez odpowiednie wyginanie i wyciąganie, np. wyginając I uzyskamy C, G, J, itd. Natomiast nie da się za pomocą takiego przekształcenia dokonać przejścia od I do E, itd. Każda z operacji przekształcania jednej litery w inną w danym typie jest homeomorfizmem. Homeomorfizmy zachowują niezmienniki topologiczne - dlatego za ich pomocą otrzymuje się litery tego samego typu.

Uwagaː Litery i cyfry traktujemy tu jako krzywe jednowymiarowe - grafy. Gdyby traktować je jako wycinki powierzchni (np. wykonane z elastycznego materiału), to podział byłby inny, np. I dałoby się przekształcić w E przez odpowiednie rozciąganie.

Zobacz też

Inne rodzaje odwzorowańː

• dyfeomorfizm
• izomorfizm
• morfizm
• homotopia
• hipoteza Poincarégo

Na temat niezmienników topologicznychː

• niezmiennik topologiczny
• rozmaitość
• charakterystyka Eulera

Bibliografia

1. Stefan Waldmann: Topology: An Introduction. New York: Springer International Publishing, 2014. ISBN 978-3-319-09679-7.brak strony w książce
2. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.