Rozkład beta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Rozkład beta
Gęstość prawdopodobieństwa
Ilustracja
Dystrybuanta
Ilustracja
Parametry parametr kształtu (liczba rzeczywista)
parametr kształtu (liczba rzeczywista)
Nośnik
Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta [a]
Wartość oczekiwana (średnia)
Moda    dla  
Wariancja
Współczynnik skośności
Kurtoza
Entropia
Funkcja tworząca momenty
Funkcja charakterystyczna
Odkrywca Corrado Gini (1911)

Rozkład beta – rodzina ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa zadana za pomocą funkcji gęstości

gdzie:

– zmienna, – parametry rozkładu, tzw. parametry kształtu,
stała zależna od i normująca rozkład do 1, tj.

gdzie:

funkcja beta,
funkcja gamma.

Gdy to rozkład beta przyjmuje postać rozkładu jednostajnego.

Momenty zwykłe zmiennej o rozkładzie beta wynoszą:

Właściwości[edytuj | edytuj kod]

Miary tendencji centralnej[edytuj | edytuj kod]

Średnia[edytuj | edytuj kod]

Wartość oczekiwana rozkładu beta jest funkcją stosunku parametrów i [1]:

Jeśli oba parametry są równe, rozkład jest symetryczny ze średnią Wraz z dążeniem proporcji parametrów i do wartości nieskończonych lub nieskończenie małych, rozkład staje się prawo- lub lewoskośny, ze średnią dążącą do granic przedziału

Dominanta[edytuj | edytuj kod]

Maksimum lub minimum rozkładu beta wyraża funkcja[1]:

Jeśli oba parametry są mniejsze od zera, wartość funkcji wyznacza minimum rozkładu.

Miary rozproszenia[edytuj | edytuj kod]

Wariancja[edytuj | edytuj kod]

Wariancję rozkładu beta określa funkcja parametrów i [1]:

Wraz z dążeniem parametrów do zera, rozkład dąży do maksymalnej możliwej wariancji Przy rozkład jest jednostajny o typowej dla niego wariancji równej Wraz z dążeniem jednego lub obu parametrów do nieskończoności, wariancja dąży do zera.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]


  1. gdzie:
       –   niekompletna funkcja beta.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c Chapter 21: Beta Distributions, [w:] Kotz i inni, Continuous univariate distributions, Wiley, 1995, ISBN 978-0-471-58494-0, OCLC 29428092.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Rozkład po raz pierwszy wprowadzony w pracy:
Corrado Gini: Considerazioni sulle probabilita a posteriori e applicazioni al rapporto dei sessi nelle nascite umane. Studi Economico-Giuridici della Universita de Cagliari, Anno III, 1911, s. 133–171.