Rozkład beta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Rozkład beta
Gęstość prawdopodobieństwa
Rozkład beta
Dystrybuanta
Rozkład beta
Parametry parametr kształtu (liczba rzeczywista)
parametr kształtu (liczba rzeczywista)
Nośnik
Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta [a]
Wartość oczekiwana (średnia)
Moda    dla  
Wariancja
Współczynnik skośności
Kurtoza
Entropia
Funkcja tworząca momenty
Funkcja charakterystyczna
Odkrywca Corrado Gini (1911)

Rozkład betaciągły rozkład prawdopodobieństwa dany funkcją gęstości zdefiniowaną na przedziale wzorem

gdzie parametrami rozkładu, zaś jest stałą zależną od i taką że rozkład jest unormowany do 1, tj.

gdzie oraz to odpowiednio funkcja gamma i funkcja beta.

W specjalnym przypadku, kiedy rozkład beta przyjmuje postać standardowego rozkładu jednostajnego.

Momenty zwykłe zmiennej o rozkładzie beta wynoszą:

Właściwości[edytuj | edytuj kod]

Miary tendencji centralnej[edytuj | edytuj kod]

Średnia[edytuj | edytuj kod]

Wartość oczekiwana rozkładu beta jest funkcją stosunku parametrów i [1]:

Jeśli oba parametry są równe, rozkład jest symetryczny ze średnią Wraz z dążeniem proporcji parametrów i do wartości nieskończonych lub nieskończenie małych, rozkład staje się prawo- lub lewoskośny, ze średnią dążącą do granic przedziału :

Dominanta[edytuj | edytuj kod]

Maksimum lub minimum rozkładu beta wyraża funkcja[1]:

Jeśli oba parametry są mniejsze od zera, wartość funkcji wyznacza minimum rozkładu.

Miary rozproszenia[edytuj | edytuj kod]

Wariancja[edytuj | edytuj kod]

Wariancję rozkładu beta określa funkcja parametrów i [1]:

Wraz z dążeniem parametrów do zera, rozkład dąży do maksymalnej możliwej wariancji Przy rozkład jest jednostajny o typowej dla niego wariancji równej Wraz z dążeniem jednego lub obu parametrów do nieskończoności, wariancja dąży do zera.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]


  1. gdzie:
       –   niekompletna funkcja Beta.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c Chapter 21: Beta Distributions [w:] Kotz i inni, Continuous univariate distributions, Wiley, 1995, ISBN 978-0-471-58494-0, OCLC 29428092.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Rozkład po raz pierwszy wprowadzony w pracy:
Corrado Gini: Considerazioni sulle probabilita a posteriori e applicazioni al rapporto dei sessi nelle nascite umane. Studi Economico-Giuridici della Universita de Cagliari, Anno III, 1911, s. 133–171.