Rozkład beta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Rozkład beta
Gęstość prawdopodobieństwa
{{{opis wykresu}}}
{{{opis wykresu}}}
Dystrybuanta
{{{opis wykresu dystrybuanty}}}
{{{opis wykresu dystrybuanty}}}
Parametry parametr kształtu (liczba rzeczywista)
parametr kształtu (liczba rzeczywista)
Nośnik
Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta [a]
Wartość oczekiwana (średnia)
Moda    dla  
Wariancja
Współczynnik skośności
Kurtoza
Entropia
Funkcja tworząca momenty
Funkcja charakterystyczna
Odkrywca Corrado Gini (1911)

Rozkład betaciągły rozkład prawdopodobieństwa dany funkcją gęstości zdefiniowaną na przedziale wzorem

,

gdzie są parametrami rozkładu, zaś jest pewną stałą zależną od i .

Jeśli rozwiniemy wzór ze względu na tę stałą, otrzymamy pełną postać funkcji gęstości rozkładu:

gdzie oraz to odpowiednio funkcja gamma i funkcja beta.

W specjalnym przypadku, kiedy , rozkład beta przyjmuje postać standardowego rozkładu jednostajnego.

Momenty zwykłe zmiennej o rozkładzie beta wynoszą:

.

Właściwości[edytuj]

Miary tendencji centralnej[edytuj]

Średnia[edytuj]

Wartość oczekiwana rozkładu beta jest funkcją stosunku parametrów i [1]:

Jeśli oba parametry są równe, , rozkład jest symetryczny ze średnią . Wraz z dążeniem proporcji parametrów i do wartości nieskończonych lub nieskończenie małych, rozkład staje się prawo- lub lewoskośny, ze średnią dążącą do granic przedziału :

Dominanta[edytuj]

Maksimum lub minimum rozkładu beta wyraża funkcja[1]:

Jeśli oba parametry są mniejsze od zera, , wartość funkcji wyznacza minimum rozkładu.

Miary rozproszenia[edytuj]

Wariancja[edytuj]

Wariancję rozkładu beta określa funkcja parametrów i [1]:

Wraz z dążeniem parametrów do zera, , rozkład dąży do maksymalnej możliwej wariancji . Przy , rozkład jest jednostajny o typowej dla niego wariancji równej . Wraz z dążeniem jednego lub obu parametrów do nieskończoności, wariancja dąży do zera.

Uwagi[edytuj]


  1. gdzie:
       –   niekompletna funkcja Beta.

Bibliografia[edytuj]

  • Rozkład po raz pierwszy wprowadzony w pracy:
Corrado Gini: Considerazioni sulle probabilita a posteriori e applicazioni al rapporto dei sessi nelle nascite umane. Studi Economico-Giuridici della Universita de Cagliari, Anno III, 1911, s. 133-171.

Przypisy

  1. a b c Chapter 21: Beta Distributions, [w:] Kotz i inni, Continuous univariate distributions, Wiley, 1995, ISBN 9780471584940, OCLC 29428092.