Rozkład Pascala

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Rozkład Pascala
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
Czerwona linia oznacza wartość oczekiwaną, a zielona ma w przybliżeniu długość 2σ.
Czerwona linia oznacza wartość oczekiwaną, a zielona ma w przybliżeniu długość 2σ.
Parametry (liczba rzeczywista)
(liczba rzeczywista)
Nośnik
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
Dystrybuanta jest regularyzowaną niekompletną funkcją Beta
Wartość oczekiwana (średnia)
Moda
Wariancja
Współczynnik skośności
Kurtoza
Entropia
Funkcja tworząca momenty
Funkcja charakterystyczna

Rozkład Pascala (ujemny rozkład dwumianowy)dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący m.in. liczbę sukcesów i porażek w niezależnych i posiadających równe prawdopodobieństwo sukcesu próbach Bernoulliego.

Rozważmy ciąg niezależnych prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu równym p. Ustalmy liczbę r. Obserwujemy ten ciąg do momentu stwierdzenia r-tej porażki. Oznaczmy ten moment przez T. O zmiennej losowej T-r mówimy, że ma ujemny rozkład dwumianowy NB(r,p) z parametrami r oraz p.

Niech X ma rozkład NB(r,p). Wtedy X = k (gdzie k=0,1,2,...) jeśli w r+k-tym momencie zaszła porażka oraz w ciągu zaszło r-1 porażek. Zatem

czyli

Na rozkład ten można spojrzeć w następujący sposób: rozważamy ciąg niezależnych zmiennych o rozkładzie geometrycznym z parametrem sukcesu 1-p odpowiadające obserwacji naszego ciągu po porażce r-1 do porażki r włącznie. Niech . Wtedy zmienna losowa X = Y - r, zliczająca jedynie liczbę sukcesów, ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami r oraz p. Z tego otrzymujemy natychmiast wzór na wartość oczekiwaną zmiennej losowej o tym rozkładzie

W podobny sposób można wyprowadzić wzór na wariancję.

Uwaga: często rozważa się trochę inne definicje ujemnych rozkładów dwumianowych. Porażkę zastępuje się sukcesem oraz nie odejmuje się parametru r od momentu zajścia r-tego sukcesu. Otrzymujemy wtedy zmienną losową X o następujący rozkładzie

Zmienna ta jest sumą r niezależnych zmiennych o rozkładzie geometrycznym z parametrem sukcesu p.


Bibliografia[edytuj]

  • William Feller: Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Warszawa: PWN, 2007, s. 159-160. ISBN 978-83-01-14684-9.