Rozkład Pascala

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania


Rozkład Pascala
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
Czerwona linia oznacza wartość oczekiwaną, a zielona ma w przybliżeniu długość 2σ.
Czerwona linia oznacza wartość oczekiwaną, a zielona ma w przybliżeniu długość 2σ.
Parametry (liczba rzeczywista)
(liczba rzeczywista)

Poniższe wzory dotyczą wariantu opisującego liczbę sukcesów przed porażką . Inne parametryzacje opisują inne wzory.

Nośnik
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
Dystrybuanta jest regularyzowaną niekompletną funkcją Beta
Wartość oczekiwana (średnia)
Moda
Wariancja
Współczynnik skośności
Kurtoza
Entropia
Funkcja tworząca momenty
Funkcja charakterystyczna

Rozkład Pascala (ujemny rozkład dwumianowy)dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący m.in. liczbę sukcesów i porażek w niezależnych i posiadających równe prawdopodobieństwo sukcesu próbach Bernoulliego. Jest uogólnieniem rozkładu geometrycznego dla wielu prób.

Termin „ujemny rozkład dwumianowy” nie jest w pełni usystematyzowany. Może dotyczyć jednego z kilku wariantów funkcji opisujących te same zmienne losowe z subtelnymi różnicami w parametryzacji – liczby prób, albo sukcesów lub porażek (czasem liczonych bez ostatniego), przy określonej wartości jednej z tych zmiennych. Momenty i inne charakterystyki poszczególnych wersji rozkładu różnią o proste transformacje[1][2][3]. Nazwa „rozkład Pascala” opisuje z reguły warianty dla wartości całkowitych, liczonych bez ostatniego zdarzenia[3].

Wariant dla liczby sukcesów przed porażką[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy ciąg niezależnych prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu równym Ustalmy liczbę Obserwujemy ten ciąg do momentu stwierdzenia -tej porażki. Oznaczmy ten moment przez O zmiennej losowej mówimy, że ma ujemny rozkład dwumianowy NB(r,p) z parametrami oraz

Niech ma rozkład NB(r,p). Wtedy (gdzie ) jeśli w -tym momencie zaszła porażka oraz w ciągu zaszło porażek. Zatem

czyli

Na rozkład ten można spojrzeć w następujący sposób: rozważamy ciąg niezależnych zmiennych o rozkładzie geometrycznym z parametrem sukcesu odpowiadające obserwacji naszego ciągu po porażce do porażki włącznie. Niech Wtedy zmienna losowa zliczająca jedynie liczbę sukcesów, ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami oraz Z tego otrzymujemy natychmiast wzór na wartość oczekiwaną zmiennej losowej o tym rozkładzie

W podobny sposób można wyprowadzić wzór na wariancję.

Dla porównania, w trochę innej definicji ujemnego rozkładu dwumianowego, porażkę zastępuje się sukcesem oraz nie odejmuje się parametru od momentu zajścia -tego sukcesu. Otrzymujemy wtedy zmienną losową o następujący rozkładzie

Zmienna ta jest sumą r niezależnych zmiennych o rozkładzie geometrycznym z parametrem sukcesu

Inne warianty[edytuj | edytuj kod]

Rozkład był prezentowany w literaturze na kilka różnych sposobów, z subtelnymi zmianami parametryzacji[1][2][3]. Różnice w notacji dotyczą m.in. stosowania równoważności pomiędzy liczbą prób sukcesów i porażek np. tego, czy nośnik zaczyna się od 0 czy 1, oraz z możliwości przedstawienia wzoru z użyciem różnych form symbolu Newtona, także z wykorzystaniem tożsamości kombinacji dopełniających:

Poniższa tabela przedstawia niektóre spotykane formy rozkładu.

zlicza: Nośnik i funkcja rozkładu prawdopodobieństwa Wzór
sukcesów, przy danych porażkach dla [4][5]
(wariant opisany powyżej)
prób, przy danych porażkach dla
porażek, przy danych sukcesach dla [6][2]
[7][8][9][10]
prób, przy danych sukcesach dla
[2][10][11][12][13][14]
sukcesów, przy danych próbach (rozkład dwumianowy – dla porównania) dla

Wzór można także rozszerzyć dla niecałkowitych wartości z użyciem funkcji gamma, np.:

opisuje, jakie jest prawdopodobieństwo, że czas oczekiwania na -ty sukces będzie wynosił

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b Gavin J.S. Ross, Donald Arthur Preece, The Negative Binomial Distribution, „The Statistician”, 34 (3), 1985, s. 323, DOI10.2307/2987659, JSTOR2987659 [dostęp 2019-06-17].
  2. a b c d John D. Cook, Notes on the Negative Binomial Distribution.
  3. a b c Samuel Kotz, Adrienne W. Kemp, Norman Lloyd Johnson, Univariate discrete distributions, wyd. 2, New York: Wiley, 1992, s. 199–213, ISBN 0-471-54897-9, OCLC 25547480 [dostęp 2019-06-17].
  4. Morris H. DeGroot, Mark J. Schervish, Probability and statistics, wyd. 4, Boston: Addison-Wesley, 2012, s. 297, ISBN 978-0-321-50046-5, OCLC 502674206 [dostęp 2019-06-17].
  5. William H. Beyer, CRC standard mathematical tables, wyd. 28, Boca Raton, Florida: CRC Press, 1987, s. 533, ISBN 0-8493-0628-0, OCLC 16167842 [dostęp 2019-06-17].
  6. Mathworks: Negative Binomial Distribution.
  7. Eric W. Weisstein, Negative Binomial Distribution, mathworld.wolfram.com [dostęp 2019-06-17] (ang.).
  8. SAS Institute, „Negative Binomial Distribution”, SAS(R) 9.4 Functions and CALL Routines: Reference, Fourth Edition, SAS Institute, Cary, NC, 2016.
  9. Michael J. Crawley, The R Book, Wiley, 2012, ISBN 978-1-118-44896-0.
  10. a b Set theory: Section 3.2.5 – Negative Binomial Distribution.
  11. Randomservices.org, Chapter 10: Bernoulli Trials, Section 4: The Negative Binomial Distribution.
  12. Stat Trek: Negative Binomial Distribution.
  13. Jacqueline Wroughton, Distinguishing Between Binomial, Hypergeometric and Negative Binomial Distributions.
  14. Sheldon M. Ross, A first course in probability, wyd. 8, Upper Saddle River, N.J.: Pearson Prentice Hall, 2010, s. 157, ISBN 978-0-13-603313-4, OCLC 237199460 [dostęp 2019-06-17].

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • William Feller: Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Warszawa: PWN, 2007, s. 159–160. ISBN 978-83-01-14684-9.