Rozkład hipergeometryczny
Parametry
|
|
Nośnik
|
|
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
|
|
Wartość oczekiwana (średnia)
|
|
Moda
|
|
Wariancja
|
|
Współczynnik skośności
|
|
Kurtoza
|
|
Funkcja tworząca momenty
|
|
Funkcja charakterystyczna
|
|
Rozkład hipergeometryczny – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa związany z tzw. schematem urnowym.
Zmienna losowa o tym rozkładzie określa prawdopodobieństwo uzyskania
sukcesów (
-krotnego wylosowania obiektu mającego określoną cechę) w
-elementowej próbie, czyli
pojedynczych próbkowaniach bez zwracania z populacji o skończonej wielkości
, w której znajduje się dokładnie
obiektów mających tę cechę. W każdym pojedynczym próbkowaniu może nastąpić albo sukces, albo porażka[1].
Niekiedy spotyka się inny sposób sformułowania, np. zamiast
(wielkości całej populacji) parametrem jest
(liczba obiektów niemających określonej cechy w populacji)[2].
Zmienna losowa
ma rozkład hipergeometryczny, gdy funkcja masy prawdopodobieństwa (pmf) jest dana wzorem[3]

gdzie
to wielkość populacji,
to liczba sukcesów (obiektów, które mają określoną cechę) w tej populacji,
to liczba pojedynczych losowań (wielkość pobieranej próbki),
to liczba sukcesów zaobserwowanych w próbce,
to symbol Newtona.
Wzór ten stosuje się dla k, takich że
. Poza tym przedziałem prawdopodobieństwa
wynoszą zero.
W grze Lotto uczestnik kupuje zakład, w ramach którego typuje, które z 49 liczb zostaną wylosowane w losowaniu odbywającym się w określonym terminie. W pojedynczym losowaniu losuje się 6 liczb. W pojedynczym zakładzie uczestnik typuje również 6 liczb. Zmienna
określająca, ile z wytypowanych w tym zakładzie liczb zostanie wylosowanych, ma rozkład hipergeometryczny z parametrami
,
,
. Prawdopodobieństwo prawidłowego wytypowania wszystkich sześciu liczb (trafienia szóstki) wynosi więc:

zaś prawdopodobieństwo uzyskania trójki (prawidłowego wytypowania dokładnie trzech liczb) wynosi:

Jeżeli uczestnik gra systemem i typuje 8 liczb (co jest równoważne z zakupem odpowiedniej liczby powiązanych zakładów), zmienna
określająca, ile z wytypowanych liczb będzie wylosowanych, ma rozkład hipergeometryczny z parametrami
,
,
. W takiej sytuacji prawdopodobieństwo uzyskania szóstki wynosi:

- ↑ JacekJ. Jakubowski JacekJ., RafałR. Sztencel RafałR., Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Wyd. 2 popr., rozsz., (dodr.), Warszawa: "Script", 2001, s. 16, ISBN 978-83-904564-5-4 .
- ↑ R: The Hypergeometric distribution [online], search.r-project.org [dostęp 2024-06-19] .
- ↑ John A. Rice: Mathematical Statistics and Data Analysis. Wyd. Third. Duxbury Press, 2007, s. 42.
Rozkłady statystyczne
Rozkłady ciągłe |
|
---|
Rozkłady dyskretne |
|
---|