Twierdzenie Heinego-Cantora

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Heinego-Cantora – nazwane na cześć Heinricha Heinego oraz Georga Cantora twierdzenie mówiące że każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła.

Dowód.

Niech będzie funkcją ciągłą działającą z przestrzeni zwartej w przestrzeń metryczną . Ustalmy .

Z ciągłości dla każdego istnieje liczba taka, że dla każdego z kuli .

Na mocy zwartości z pokrycia można wybrać podpokrycie skończone .

Niech . Wówczas dla dowolnych takich, że , istnieje punkt taki, że . Zatem .
To dowodzi, że jest jednostajnie ciągła.