Twierdzenie Banacha o kontrakcji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Banacha o kontrakcji (lub o punkcie stałym, nazywane też niekiedy Banacha zasadą kontrakcji) głosi, że dowolna kontrakcja przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie ma dokładnie jeden punkt stały; co więcej, jest on granicą ciągu iteracji danej kontrakcji, zaczynającego się w dowolnym punkcie przestrzeni.

Sformułowanie[edytuj]

Jeśli jest przestrzenią metryczną zupełną, zaś jest kontrakcją, to:

  • odwzorowanie ma dokładnie jeden punkt stały oraz
  • dla dowolnego ciąg jest zbieżny do .

Szkic dowodu[edytuj]

Jednoznaczność punktu stałego jest dość oczywista: niech bowiem będzie stałą Lipschitza kontrakcji , a , jej punktami stałymi. Mamy wówczas

,

co przy mniejszym od jedności zachodzi tylko gdy , co z definicji metryki oznacza, że , a więc istnieje co najwyżej jeden punkt stały.

Aby wykazać pozostałą część tezy, wybierzmy dowolny punkt i oszacujmy odległość między wartością -tej i -tej iteracji kontrakcji dla punktu (korzystając przy tym -krotnie z nierówności trójkąta. Można wykazać, iż ciąg jest ciągiem Cauchy'ego, a zatem ma granicę (bo jest zupełna). Następnie łatwo już zauważyć, wykorzystując ciągłość funkcji , że jego granica jest punktem stałym przekształcenia .

Zastosowania[edytuj]

Twierdzenie Banacha, mimo swej prostoty, ma liczne i ważne zastosowania. Można np. przy jego pomocy wykazać twierdzenie o funkcji odwrotnej, istnienie atraktora układu przekształceń zwężających, czy zbieżności niektórych algorytmów numerycznych (zob. np. metoda Gaussa-Seidla); jest ono też wykorzystywane m.in. w teorii równań całkowych i różniczkowych. Żartobliwym jego zastosowaniem (i ilustracją) jest obserwacja, że gdy położymy mapę Polski na ziemi gdzieś w Polsce, to dokładnie jeden punkt na mapie pokrywa się z odpowiadającym mu punktem na ziemi.

Uogólnienia[edytuj]

Stosunkowo łatwo wykazać, że w twierdzeniu Banacha nie można opuścić ani założenia zupełności, ani osłabić warunku kontrakcji, zastępując go warunkiem

(ani tym bardziej założeniem, że jest nierozszerzające). Istotnie, odwzorowanie jest kontrakcją (niezupełnej) przestrzeni w siebie, pozbawioną punktów stałych; nietrudno też zauważyć, że funkcja zmniejsza odległości punktów (choć nie jest kontrakcją) i nie ma punktu stałego. (Okazuje się jednak, że jeśli założymy, że jest zwarta, powyższa nierówność zapewnia istnienie i jednoznaczność punktu stałego.)

Mimo powyższych kontrprzykładów, istnieje szereg twierdzeń, które uogólniają twierdzenie Banacha. Często zastępuje się w nich warunek kontraktywności warunkiem typu

,

gdzie jest funkcją odwzorowującą zbiór w siebie, mającą pewne szczególne własności, takie jak ciągłość, monotoniczność i inne.

Twierdzenia odwrotne[edytuj]

Twierdzenie Bessagi[edytuj]

Jeśli jest taką funkcją określoną na niepustym zbiorze , że każda jej iteracja ma dokładnie jeden punkt stały, to można zmetryzować w sposób zupełny tak, by było kontrakcją względem tej metryki (i to o dowolnej, z góry zadanej stałej kontrakcji z przedziału ).

Twierdzenie Meyersa[edytuj]

Niech będzie zupełną przestrzenią metryczną, a odwzorowaniem spełniającym następujące warunki:

  1. dla pewnego ,
  2. dla każdego ,
  3. istnieje takie otoczenie punktu , że dla dowolnego otoczenia tego punktu istnieje taki indeks , że dla .

Wówczas dla dowolnej stałej istnieje równoważna z metryka zupełna na , przy której jest kontrakcją ze stałą .

Zobacz też[edytuj]