Twierdzenie Szarkowskiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Szarkowskiegotwierdzenie podane w 1964 r. przez ukraińskiego matematyka Aleksandra Mikołajewicza Szarkowskiego dotyczące występowania punktów okresowych dla ciągłych funkcji prostej rzeczywistej[1]. Twierdzenie to jest również uogólnieniem twierdzenia Li-Yorke’a z 1975 r.

Porządek Szarkowskiego[edytuj]

Porządek Szarkowskiego to porządek w zbiorze liczb naturalnych , oznaczany , w którym elementem najmniejszym jest liczba 3 a największym 1:

Twierdzenie Szarkowskiego[edytuj]

Niech będzie funkcją ciągłą, a to domknięty odcinek lub cała prosta . Jeśli ma punkt okresowy o okresie oraz w porządku Szarkowskiego, to ma punkt okresowy o okresie .

Idea dowodu[edytuj]

Zawiły dowód podany przez Szarkowskiego w 1964 roku był wielokrotnie upraszczany. Nowoczesny dowód używa niżej zdefiniowanego pojęcia A-grafu.

A-graf[edytuj]

Powiemy, że przedział nakrywa przedział przy funkcji , gdy . Niech będzie punktem okresowym o okresie i orbicie uporządkowanej następująco: . Oznaczmy przedziały dla . Graf o wierzchołkach nazywamy A-grafem. Krawędź występuje w A-Grafie, gdy przedział nakrywa .

Tworzenie orbit za pomocą A-grafu[edytuj]

Niech będzie cyklem w A-grafie. Jeśli nie jest to cykl, który jest prostym złożeniem innych cykli, to istnieje podprzedział taki, że dla oraz .

Szkic dowodu[edytuj]

Mając dany punkt okresowy i jego orbitę , tworzymy dla niego -wierzchołkowy A-graf. Aby pokazać istnienie punktu okresowego o okresie , znajdujemy nietrywialny cykl długości .

Uogólnienie na wyższe wymiary[edytuj]

Twierdzenie Szarkowskiego nie zachodzi w wymiarach wyższych niż 1. Kontrprzykład: niech będzie obrotem o kąt wokół punktu . Przekształcenie ma dokładnie jeden punkt stały , a wszystkie pozostałe punkty są okresowe o okresie .

Przypisy

  1. A.N. Sharkovskii, Co-existence of cycles of a continuous mapping of the line into itself, Ukrainian Math. J. 16:61-71 (1964).

Bibliografia[edytuj]

  • L.S. Block, W.A. Coppel, Dynamics in One Dimension, Lecture Notes in Mathematics, tom 1513, 1992, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. Zawiera nietrudny dowód twierdzenia Szarkowskiego bazujący na A-Grafach.
  • O ustawianiu liczb naturalnych, czyli twierdzenie Szarkowskiego. W: Krzysztof Ciesielski, Zdzisław Pogoda: Diamenty matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka, 1997. ISBN 83-7180-145-9.