Odwzorowanie nierozszerzające

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Odwzorowanie nierozszerzające (zwane przez niektórych autorów słabą kontrakcją) to odwzorowanie przestrzeni metrycznych, które nie zwiększa odległości punktów.

Definicja[edytuj]

Niech oraz będą przestrzeniami metrycznymi. Odwzorowanie nazywamy nierozszerzającym, jeśli dla dowolnych zachodzi nierówność

.

Innymi słowy, odwzorowanie nierozszerzające to odwzorowanie spełniające warunek Lipschitza ze stałą równą 1.

Własności[edytuj]

Każde odwzorowanie nierozszerzające, jako odwzorowanie lipschitzowskie, jest jednostajnie ciągłe, a więc w szczególności ciągłe.

W przeciwieństwie do kontrakcji, odwzorowanie nierozszerzające przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie może nie mieć punktów stałych (np. translacje w przestrzeniach Banacha) lub mieć ich wiele (np. identyczność na ). Przy dodatkowych założeniach o można jednak wykazać istnienie punktu stałego. Przykładowo, jeśli jest niepustym, domkniętym, ograniczonym i wypukłym podzbiorem przestrzeni Hilberta, to ma punkt stały (twierdzenie Browdera–Goehde'a–Kirka).

Teoria kategorii[edytuj]

Odwzorowania nierozszerzające są morfizmami w kategorii przestrzeni metrycznych.