Odwzorowanie nierozszerzające

Odwzorowanie nierozszerzające, nieoddalające, słaba kontrakcja – odwzorowanie przestrzeni metrycznych, które nie zwiększa odległości punktów. Formalnie: niech $(X,d_{X})$ oraz $(Y,d_{Y})$ będą przestrzeniami metrycznymi. Odwzorowanie $f\colon X\to Y$ nazywamy nierozszerzającym, jeśli dla dowolnych $x_{1},x_{2}\in X$ zachodzi nierówność:

$d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leqslant d_{X}(x_{1},x_{2}).$

Innymi słowy, odwzorowanie nierozszerzające to odwzorowanie spełniające warunek Lipschitza ze stałą równą 1.

Własności

Każde odwzorowanie nierozszerzające, jako odwzorowanie lipschitzowskie, jest jednostajnie ciągłe, a więc w szczególności ciągłe.

W przeciwieństwie do kontrakcji, odwzorowanie nierozszerzające przestrzeni metrycznej zupełnej $X$ w siebie może nie mieć punktów stałych (np. translacje w przestrzeniach Banacha) lub mieć ich wiele (np. identyczność na $\mathbb {R}$). Przy dodatkowych założeniach o $X$ można jednak wykazać istnienie punktu stałego. Przykładowo, jeśli $X$ jest niepustym, domkniętym, ograniczonym i wypukłym podzbiorem przestrzeni Hilberta, to ma punkt stały (twierdzenie Browdera-Goehde’a-Kirka).

Teoria kategorii

Odwzorowania nierozszerzające są morfizmami w kategorii przestrzeni metrycznych.

Bibliografia

• Jarosław Górnicki: Okruchy matematyki. Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009. ISBN 978-83-01-16002-9.