Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Cayleya–Hamiltona (nazwa od matematyków Artura Cayleya i Williama Hamiltona) mówi, że każda macierz kwadratowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych jest pierwiastkiem swojego wielomianu charakterystycznego.

Dokładniej; jeżeli A jest macierzą n×n oraz In  jest macierzą identycznościową n×n to wielomian charakterystyczny A jest zdefiniowany jako:

gdzie "det" oznacza wyznacznik.

Twierdzenie Cayleya–Hamiltona mówi, że podstawienie do wielomianu charakterystycznego daje w rezultacie macierz złożoną z samych zer:

Ważnym wnioskiem z teorii Cayleya–Hamiltona jest fakt, że wielomian minimalny danej macierzy jest dzielnikiem wielomianu charakterystycznego. Jest to bardzo przydatne podczas znajdowania postaci Jordana danej macierzy.

Przykład[edytuj]

Rozważmy macierz

Wielomian charakterystyczny tej macierzy ma następującą postać:

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że

czyli:

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona pozwala obliczać potęgi macierzy o wiele prościej, niż przez bezpośrednie mnożenia.

Biorąc powyższe wyniki

policzmy A4: