Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że każda macierz kwadratowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych jest pierwiastkiem swojego wielomianu charakterystycznego. Nazwa upamiętnia matematyków: Arthura Cayleya i Williama Hamiltona

Dokładniej; jeżeli $A$ jest macierzą $n\times n$ oraz $I_{n}$ jest macierzą identycznościową $n\times n$ to wielomian charakterystyczny $A$ jest zdefiniowany jako:

$w(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A),$

gdzie $\det$ oznacza wyznacznik.

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że podstawienie $A$ do wielomianu charakterystycznego daje w rezultacie macierz złożoną z samych zer:

$w(A)=0_{n}.$

Ważnym wnioskiem z teorii Cayleya-Hamiltona jest fakt, że wielomian minimalny danej macierzy jest dzielnikiem wielomianu charakterystycznego. Jest to bardzo przydatne podczas znajdowania postaci Jordana danej macierzy.

Przykład

Rozważmy macierz

$A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}.$

Wielomian charakterystyczny tej macierzy ma następującą postać:

$w(\lambda )={\begin{vmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{vmatrix}}=(\lambda -1)(\lambda -4)-2\cdot 3=\lambda ^{2}-5\lambda -2.$

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że

$A^{2}-5A-2I_{2}=0_{2}$

czyli:

${\begin{aligned}A^{2}-5A-2I_{2}&={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{2}-5\cdot {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}-2\cdot {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\\[1ex]&={\begin{bmatrix}7&10\\15&22\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}5&10\\15&20\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}}\\[1ex]&={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona pozwala obliczać potęgi macierzy o wiele prościej, niż przez bezpośrednie mnożenia.

Biorąc powyższe wyniki

$A^{2}-5A-2I_{2}=0_{2}$

$A^{2}=5A+2I_{2}.$

policzmy $A^{4}{:}$

$A^{3}=(5A+2I_{2})A=5A^{2}+2A=5(5A+2I_{2})+2A=27A+10I_{2}$

$A^{4}=A^{3}A=(27A+10I_{2})A=27A^{2}+10A=27(5A+2I_{2})+10A$

$A^{4}=145A+54I_{2}.$

Bibliografia

• Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach. Wyd. XXI. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1994. ISBN 83-01-01460-1.

Linki zewnętrzne

• Cayley-Hamilton theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].