Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że każda macierz kwadratowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych jest pierwiastkiem swojego wielomianu charakterystycznego[1]. Nazwa upamiętnia matematyków: Arthura Cayleya i Williama Hamiltona

Dokładniej; jeżeli jest macierzą oraz jest macierzą identycznościową to wielomian charakterystyczny jest zdefiniowany jako:

gdzie oznacza wyznacznik.

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że podstawienie do wielomianu charakterystycznego daje w rezultacie macierz złożoną z samych zer:

Ważnym wnioskiem z teorii Cayleya-Hamiltona jest fakt, że wielomian minimalny danej macierzy jest dzielnikiem wielomianu charakterystycznego. Jest to bardzo przydatne podczas znajdowania postaci Jordana danej macierzy.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy macierz

Wielomian charakterystyczny tej macierzy ma następującą postać:

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że

czyli:

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona pozwala obliczać potęgi macierzy o wiele prościej, niż przez bezpośrednie mnożenia.

Biorąc powyższe wyniki

policzmy

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]