Liczby podwójne

Liczby podwójne – wyrażenia postaci $a+b\jmath ,$ gdzie $a,b\in \mathbb {R} ,$ $\jmath \notin \mathbb {R}$ oraz $\jmath ^{2}=1.$

Konstrukcja

Liczby podwójne można ściśle zdefiniować jako zbiór par liczb rzeczywistych, tj. $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ z następującymi dwoma działaniami:

$(a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d),$

$(a,b)\otimes (c,d)=(ac+bd,ad+bc).$

Para $(1,0)$ jest elementem neutralnym mnożenia $\otimes$ oraz $(0,1)^{2}=(1,0).$

Jest to więc pierścień przemienny z jedynką i z dzielnikami zera. Dzielniki zera mają postać $(a,a)$ lub $(a,-a),$ bowiem dla dowolnych $x,y{:}$

$(x,x)\otimes (y,-y)=(y,-y)\otimes (x,x)=(0,0).$

Ponieważ $(1,0)$ i $(0,1)$ są niewspółmierne, więc analogicznie do liczb zespolonych otrzymać można następującą postać kanoniczną:

$(a,b)=(a,0)+(0,b)=a+b\jmath$ gdzie $\jmath =(0,1).$

Dla liczby podwójnej niebędącej dzielnikiem zera, tj. $c+d\jmath ,\quad c^{2}-d^{2}\neq 0$ istnieje odwrotność:

$(c+d\jmath )^{-1}={\frac {1}{c+d\jmath }}={\frac {-c+d\jmath }{-c^{2}+d^{2}}}.$

Pierścień liczb podwójnych można zanurzyć izomorficznie w pierścieniu macierzy stopnia drugiego:

$a+b\jmath \ \leftrightarrow {\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}},$

w szczególności

$\jmath \ \leftrightarrow {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.$

Przykłady

• $(12+7\jmath )+(36+43\jmath )=48+50\jmath$
• $(5+3\jmath )\cdot (6+4\jmath )=42+38\jmath$

Zobacz też

• liczby dualne
• liczby zespolone

Linki zewnętrzne

• Double and dual numbers (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].