Pierścień zbiorów

Pierścień zbiorów – w matematyce niepusta rodzina zbiorów zamknięta ze względu na przecięcia i różnicę symetryczną, tzn. jeżeli dla dowolnego $A, B \in \mathcal R$ zachodzi

• $A \cap B \in \mathcal R,$
• $A \triangle B \in \mathcal R,$

gdzie $\triangle$ oznacza różnicę symetryczną, tj.

$A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A).$

Równoważnie można wymagać, aby z każdymi dwoma zbiorami $A, B$ należącymi do pierścienia należały także do niego zbiory $A \cup B$ oraz $A \setminus B.$

Własności

Pierścień zbiorów jest pierścieniem w algebraicznym tego słowa znaczeniu (możliwe, że bez jedynki). Przekrój jest rozdzielny względem różnicy symetrycznej:

$A \cap (B \triangle C) = (A \cap B) \triangle (A \cap C)$

Zbiór pusty jest elementem neutralnym $\triangle,$ a suma wszystkich zbiorów, o ile należy do pierścienia, jest elementem neutralnym $\cap,$ co czyni z $\mathcal R$ pierścień z jedynką.

Dla danego zbioru $X$ jego zbiór potęgowy tworzy dyskretny pierścień zbiorów, zaś zbiór $\{\varnothing, X\}$ określa antydyskretny pierścień zbiorów. Dowolne ciało zbiorów, a zatem dowolna σ-algebra jest również pierścieniem zbiorów.

Zobacz też

• δ-pierścień
• σ-pierścień