Twierdzenie Rolle'a

Twierdzenie Rolle'a – twierdzenie klasycznej analizy matematycznej głoszące w swej istocie, że funkcja różniczkowalna, która przyjmuje równe wartości w dwóch punktach musi mieć punkt, gdzie nachylenie prostej stycznej do wykresu funkcji jest równe zeru.

Twierdzenie to opublikował (dla wielomianów) francuski matematyk Michel Rolle w 1691. W innej postaci znane ono było w 1150 roku hinduskiemu matematykowi Bhaskarze.

Wersja standardowa

Niech $f$ będzie ciągłą funkcją rzeczywistą określoną na przedziale domkniętym $[a, b],$ różniczkowalną na przedziale otwartym $(a, b).$ Wówczas jeżeli $f(a) = f(b),$ to istnieje taki punkt $c$ należący do przedziału otwartego $(a, b),$ że

$f ^\prime\ (c) = 0.$

Z tej wersji twierdzenia Rolle'a korzysta się przy dowodzie twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej. Twierdzenie Rolle'a jest przypadkiem szczególnym twierdzenia Lagrange'a.

Dowód

Jeżeli $f \equiv \mathrm{const},$ to $f'(c) = 0$ dla każdego $c \in (a, b).$ Gdy $f$ nie jest tożsamościowo równa stałej, to istnieje taki punkt $x \in (a, b),$ dla którego zachodzi $f(x) > f(a) = f(b)$ lub $f(x)< f(a) = f(b).$ Przypuśćmy, że zachodzi pierwszy przypadek, tzn. dla pewnego argumentu istnieje wartość funkcji większa od $f(a) = f(b);$ rozumowanie w drugim przypadku jest analogiczne (niżej trzeba rozważać wartości najmniejszej).

Określona na przedziale zwartym $[a, b]$ funkcja ciągła $f$ na mocy twierdzenia Weierstrassa przyjmuje wartość największą, tzn. istnieje taki punkt $c \in [a, b],$ że $f(c) = \sup f(x)$ dla $x \in [a, b].$

Z założenia, iż istnieje wartość większa od $f(a) = f(b)$ wynika, że $a \neq c \neq b,$ tzn. $c \in (a, b).$ Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum globalnego funkcji $f$ w $c$ jest znikanie pochodnej w tym punkcie, co dowodzi tezy.

Uogólnienia

Niech $h := b - a$ będzie rzeczywistą liczbą dodatnią, a $x := a,$ wtedy $x + h = b.$ Wówczas twierdzenie Rolle'a mówi, że istnieje punkt $c \in (a, b),$ który można zapisać jako $x + \theta h,$ gdzie $\theta \in (0, 1).$ Podstawiając te wartości do równości $f(b) = f(a)$ uzyskuje się równość

$f(x + h) = f(x).$

Jak zaznaczono wcześniej jest to przypadek szczególny twierdzenia Lagrange'a mówiący dla tych samych co twierdzenie Rolle'a założeń z wyjątkiem $f(a) = f(b),$ że istnieje taki punkt $x + \theta h$, który spełnia tożsamość

$f(x + h) = f(x) + f'(x + \theta h) h.$

Za odległe uogólnienie twierdzenia Rolle'a można uważać twierdzenie Taylora, które mówi, iż zgodnie z powyższymi oznaczeniami istnieje taki punkt $x + \theta h$, że spełniona jest równość:

$f(x + h) = f(x) + \frac{f'(x)}{1!}h + \frac{f^{(2)}(x)}{2!}h^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x)}{n!} h^n + \frac{f^{(n + 1)}(x + \theta h)}{(n + 1)!} h^{n + 1},$

gdzie o funkcji $f$ zakłada się, by była $n+1$ razy różniczkowalna. Twierdzenie Lagrange'a jest więc przypadkiem szczególnym dla $n = 0,$ a samo twierdzenie Rolle'a zdaje się przy nim wręcz trywialne.

Zobacz też

• twierdzenie Lagrange'a
• twierdzenie Cauchy'ego
• twierdzenie Darboux
• Krzywa Laffera

Bibliografia

• G. M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. dwunaste. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, s. 195. ISBN 83-01-02175-6.