Rozkład F Snedecora

Rozkład F Snedecora

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	$d_{1}>0,\ d_{2}>0$ stopni swobody
Nośnik	$x\in [0;+\infty )$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}$
Dystrybuanta	$I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}$ ${\text{ dla }}d_{2}>2$
Moda	${\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}$ ${\text{ dla }}d_{1}>2$
Wariancja	${\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}$ ${\text{ dla }}d_{2}>4$
Współczynnik skośności	${\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}$ for $d_{2}>6$
Kurtoza	${\tfrac {12(20d_{2}-8d_{2}^{2}+d_{2}^{3}+44d_{1}-32d_{1}d_{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}+$ $+{\tfrac {5d_{2}^{2}d_{1}-22d_{1}^{2}+5d_{2}d_{1}^{2}-16)}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.$
Odkrywca	Ronald Fisher, George W. Snedecor

Rozkład F Snedecora, rozkład F, rozkład Fishera-Snedecora – rozkład prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej, wykorzystywany między innymi w testach statystycznych, na przykład w analizie wariancji.

Definicja

Jeżeli niezależne zmienne losowe $S_{1}$ i $S_{2}$ mają rozkłady chi-kwadrat o odpowiednio $d_{1}$ i $d_{2}$ stopniach swobody: $S_{1}\sim \chi _{d_{1}}^{2}\ {}$ i ${}\ S_{2}\sim \chi _{d_{2}}^{2},$ to zmienna losowa ${\textstyle X={\frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}}$ ma rozkład F o $d_{1},$ $d_{2}$ stopniach swobody, co zapisujemy:

$X={\frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}\sim F_{d_{1},d_{2}}.$

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej $X$ jest dana wzorem:

${\begin{aligned}f_{d_{1},d_{2}}(x)&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\end{aligned}}$

dla $x>0,$ gdzie $\mathrm {B}$ to funkcja beta.

Dystrybuanta dana jest wzorem:

$F_{d_{1},d_{2}}(x)=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),$

gdzie $I$ to regularyzowana niekompletna funkcja beta.

Historia i nazwa

W 1924 roku Ronald Fisher stworzył tablice dla rozkładu, który oznaczył literą $Z=\ln(F/2),$ zaś w 1934 roku George Snedecor w hołdzie Fisherowi nadał rozkładowi $\textstyle {\frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}$ nazwę F i stablicował go.