Elementy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy traktatu "Elementy". Zobacz też: inne artykuły o tej nazwie.
P. Oxyrhynchus 29, papirus z III wieku z Elementami Euklidesa

Elementy (gr. Στοιχεῖα, Stoicheia) – pochodzący z IV wieku p.n.e. traktat arytmetyczny i geometryczny, obejmujący swym zakresem podstawowe zagadnienia obu tych nauk.

Elementy ukształtowały sposób myślenia o teoriach matematycznych i stały się wzorcem do naśladowania w wielu dziedzinach nauki. Są klasycznym przykładem metody dedukcyjnej i świadectwem siły rozumowania formalnego opartego na logice. Uznawane są za jedno z najsłynniejszych dzieł naukowych w historii ludzkości.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Codex Vaticanus 190

Autorem Elementów był Euklides, aczkolwiek uważa się, że dokonał on kompilacji znanych już wyników. Traktaty poświęcone geometrii pisali bowiem już przed nim Demokryt z Abdery, Ksenokrates, Heraklides z Pontu, a Simmias z Teb napisał nawet dzieło pod tym samym, co Euklides, tytułem. Prawdopodobnie jedynie kilka dowodów zamieszczonych w traktacie jest autorstwa Euklidesa, jednak nie umniejsza to w niczym wielkości jego dzieła.

Od starożytności, przez średniowiecze, aż do końca XIX wieku Elementy należały do kanonu nauczania matematyki i do dziś mogą uchodzić za wzór ścisłości i zwięzłości matematycznej wypowiedzi.

Elementy były wielokrotnie komentowane, poprawiane i wydawane. Ważnego ujednolicenia i uproszczenia dzieła dokonał w IV wieku Teon z Aleksandrii. Na jego pracy opierały się wszystkie późniejsze tłumaczenia i edycje, aż do odkrycia w XIX wieku innego greckiego rękopisu, wcześniejszego od wersji Teona. W VIII wieku przyszły przekłady arabskie, zaś w XII Adelard z Bath dokonał na ich podstawie pierwszego tłumaczenia Elementów na łacinę. Autorem kolejnego ujednolicenia był Federico Comandino, a jego wersja, oparta o teksty arabskie, ukazała się w roku 1572. Nieco wcześniej (w 1505 roku) pojawiło się, również łacińskie, tłumaczenie wersji Teona. W 1703 roku ukazało się w Oksfordzie pierwsze kompletne wydanie Elementów po angielsku. Polskiego tłumaczenia ośmiu ksiąg Elementów, pt. Euklidesa początków geometryi ksiąg ośmioro, dokonał na początku XIX wieku Józef Czech; ukazało się ono w roku 1807 w Krzemieńcu. Za najlepsze uważane jest trójjęzyczne wydanie niemieckie (dodatkowo greka i łacina), pt. Euclidis Opera Omnia (1883-1916).

Od roku 1482, gdy ukazało się oparte o wersje arabskie pierwsze drukowane wydanie Elementów w języku łacińskim, doliczono się ponad 1000 wydań drukowanych i ciągle ukazują się kolejne – jedynie Biblia cieszy się większym powodzeniem u wydawców. Na układzie Elementów oparty jest też, popularny przed II wojną światową, podręcznik Geometria autorstwa Jana Zydlera.

Metoda[edytuj | edytuj kod]

Okładka pierwszego angielskiego wydania Elementów z 1570 roku

Traktat Euklidesa ma budowę dedukcyjną – po spisaniu listy pojęć pierwotnych i ich własności w postaci aksjomatów, drogą ścisłego rozumowania wyprowadzane są kolejne twierdzenia. Jest to cecha charakterystyczna dojrzałych teorii matematycznych, a geometria taką postać osiągnęła już w czasach Euklidesa.

O precyzji rozumowań przeprowadzanych w Elementach niech świadczy fakt, że pierwszą większą nieścisłość zauważono dopiero w drugiej połowie XIX wieku. Moritz Pasch doszedł do wniosku, że listę aksjomatów podaną przez Euklidesa należy uzupełnić o aksjomat zwany aksjomatem Pascha.

Poszukiwanie ścisłości, a jednocześnie prostoty rozumowań, doprowadziło matematyków do innych, niż zaproponowany przez Euklidesa, układów aksjomatów geometrii. W roku 1899 ukazała się klasyczna dziś praca Davida Hilberta Podstawy Geometrii (Grundlagen der Geometrie), która stała się podstawą większości stosowanych dziś aksjomatyk. Na układzie 21 aksjomatów Hilberta bazuje między innymi praca Podstawy geometrii Karola Borsuka i Wandy Szmielew.

Budowa dzieła[edytuj | edytuj kod]

Elementy spisane są w postaci trzynastu ksiąg. Oprócz treści czysto geometrycznych część z nich poświęcona jest zagadnieniom zaliczanym dziś do teorii liczb.

Planimetria[edytuj | edytuj kod]

Księgi I–IV poświęcone są geometrii płaskiej.

Księga I

Dotyczy podstaw geometrii płaszczyzny. Euklides podaje w niej definicje podstawowych pojęć budowanej teorii, pewniki i tak zwane aksjomaty. Oto pięć stwierdzeń nazwanych przez Euklidesa aksjomatami:

  1. Wielkości równe tej samej wielkości są wzajemnie równe.
  2. Równe dodane do równych, dają równe sumy.
  3. Równe odjęte od równych, dają równe różnice.
  4. Rzeczy, które się pokrywają, są równe.
  5. Całość jest większa od części.

Jasny jest ogólny charakter tych stwierdzeń, mogłyby one równie dobrze znaleźć się w Metafizyce Arystotelesa jako naczelne zasady bytu.

Piąty postulat Euklidesa

Słynnych pięć pewników (lub postulatów) Euklidesa brzmi w wolnym tłumaczeniu jak następuje:

  1. Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem.
  2. Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie.
  3. Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w dowolnym punkcie i promieniu równym odcinkowi.
  4. Wszystkie kąty proste są równe.
  5. Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwu kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony, jeśli się je odpowiednio przedłuży.

Tu uwaga: w ostatnim pewniku Euklides pisze o "prostych", używając sformułowania jeśli się je odpowiednio przedłuży. Ta pozorna sprzeczność stanie się zrozumiała, jeżeli wziąć pod uwagę, że Grecy nie posługiwali się pojęciem nieskończoności tak, jak my dziś je używamy. Nieskończoność oznaczała dla nich nieograniczoną możliwość kontynuacji czegoś skończonego, tak więc prosta w ich rozumieniu była tym, co dziś nazywane jest odcinkiem.

Natychmiast z tego widać, dlaczego piąty pewnik Euklidesa budził tyle wątpliwości wśród całych pokoleń matematyków. Pierwsze ślady tego znajdują się w Komentarzu do pierwszej księgi Elementów Proklosa. Zauważa on, iż sformułowanie tego pewnika zajmuje prawie tyle miejsca, co pozostałych czterech, a "pewność" daleka jest od oczywistości. Uporczywe starania, by wyprowadzić piąty pewnik z pozostałych, doprowadziły na początku XVIII wieku Włocha Giovanniego Saccheriego do zapoczątkowania tak zwanej geometrii absolutnej, czyli bazującej na czterech pierwszych aksjomatach (choć on sam o tym nie wiedział!).

Dalsze badania matematyków wykazały, że piąty pewnik Euklidesa nie zależy od pierwszych czterech i, zastępując go innymi, można otrzymywać inne geometrie. Ponieważ pewnik ten równoważny jest stwierdzeniu:

Do danej prostej, przez dany punkt, można poprowadzić co najwyżej jedną prostą rozłączną,

analizowano konsekwencje jego zaprzeczenia. Okazało się, że spójne geometrie można uzyskać w dwóch przypadkach: przez punkt nie leżący na prostej można poprowadzić nieskończenie wiele prostych równoległych do danej lub nie da się poprowadzić żadnej prostej równoległej. Pierwszą drogą poszli Gauss, Bolyai i Nikołaj Łobaczewski, otrzymując tak zwaną geometrię hiperboliczną, drugą poszedł w połowie XIX stulecia Bernhard Riemann, twórca geometrii eliptycznej. Ostateczną akceptację geometrii nieeuklidesowych zapewniły modele geometrii Bolyai-Łobaczewskiego zaproponowane w XIX w. przez Eugenio Beltramiego oraz Feliksa Kleina.

Z pierwszej księgi Elementów pochodzą również dobrze znane wszystkim określenia:

punkt jest tym, co nie ma części;
linia to długość bez szerokości;
powierzchnia to coś, co ma tylko długość i szerokość

i inne. Dziś pojęcia punktu, linii i powierzchni traktujemy jako tak zwane pojęcia pierwotne, tj. nie podlegające definicji (choć de facto aksjomaty definicjami pojęć pierwotnych, tak zwanymi definicjami w uwikłaniu). Euklides jednak najwyraźniej uważał, że czytelnikowi należy podsunąć pewne intuicje, choć sam nigdzie do tych intuicji się nie odwołuje.

Oprócz tego w księdze I Euklides opisuje kilka podstawowych konstrukcji geometrycznych (symetralna odcinka, dwusieczna kąta), dowodzi elementarnych własności kątów, trójkąta i twierdzenia Pitagorasa.

Księga II

Poświęcona jest temu, co dziś nazywamy algebrą geometryczną, czyli interpretacjom geometrycznym podstawowych wzorów algebry. Grecy uprawiali bowiem arytmetykę sposobem geometrycznym – na przykład dodawanie liczb realizowali jako dodawanie odpowiednich odcinków. W księdze II Euklides konstruuje, między innymi, dla danego odcinka o długości a\; odcinek o długości \sqrt{a} oraz dowodzi wzorów skróconego mnożenia.

Księga III

To geometria okręgu. Euklides omawia tu pojęcie kąta wpisanego, pojęcie stycznej do okręgu i zagadnienie potęgi punktu względem okręgu.

Księga IV

Omawia zagadnienia możliwości opisania wielokąta na okręgu i okręgu na wielokącie oraz wpisania wielokąta w okrąg i okręgu w wielokąt. Ponadto są tu podane konstrukcje 3-, 4-, 5-, 6-, 10- i 15-kątów foremnych.

Arytmetyka[edytuj | edytuj kod]

Księgi V-X omawiają zagadnienia arytmetyczne.

Księga V

Jest najbardziej abstrakcyjną księgą Elementów. Przedstawia teorię proporcji Eudoksosa, w swej idei bardzo zbliżoną do teorii przekrojów Dedekinda. Omówione są w niej wszystkie dobrze znane własności proporcji.

Księga VI

Zawiera zastosowania teorii proporcji do geometrii, przedstawia dowód twierdzenia Talesa i twierdzenia o podobieństwie trójkątów oraz zajmuje się związkami między stosunkami odcinków a polami powierzchni figur na nich opartych.

Księga VII

Omawia podstawowe własności liczb: podzielność, liczby pierwsze, pojęcia NWD i NWW oraz algorytm Euklidesa.

Księga VIII

Głównym jej tematem są rozważania na temat postaci liczb  {a, b}\; spełniających proporcję  {a:x = x:b}\;, czyli konstrukcji ciągów geometrycznych.

Księga IX

Euklides wykorzystuje tu materiał dwóch poprzednich ksiąg do wykazania, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, omówienia konstrukcji liczb doskonałych i sita Eratostenesa.

Księga X

Poświęcona jest odcinkom (wielkościom) niewspółmiernym – odpowiednikom dzisiejszych liczb niewymiernych.

Stereometria[edytuj | edytuj kod]

Księgi XI–XIII to systematyczny wykład geometrii przestrzeni.

Księga XI

Przedstawia podstawowe pojęcia geometrii przestrzeni – podaje własności prostych i płaszczyzn w przestrzeni, prostopadłość i równoległość, kąty bryłowe i ich własności. Zamieszczone są tu również sposoby obliczania objętości równoległościanów.

Księga XII

Zawiera opis metody wyczerpywania, która służyła starożytnym do rozwiązywania zadań wymagających całkowania. Dzięki temu możliwe stało się znalezienie wzorów na objętość stożka, ostrosłupa, walca i kuli. Zanotowany jest fakt, że objętości kul mają się do siebie tak, jak sześciany ich promieni.

Księga XIII

Przypuszcza się, że nie jest ona dziełem Euklidesa, a została dodana do Elementów później.

Zawiera omówienie złotego podziału odcinka oraz rozważania na temat wielościanów foremnych (tak zwanych brył platońskich). Ostatnie twierdzenie brzmi: Istnieje tylko pięć wielościanów foremnych.

Tu uwaga: podane przez Euklidesa określenie wielościanu foremnego jest nieco odmienne od dzisiejszego. Uważał on za foremne wielościany, których ściany są przystającymi wielokątami foremnymi. Dzisiaj żądamy dodatkowo wypukłości takiej bryły i przystawania kątów bryłowych (być może milcząco Euklides przyjmował te założenia za oczywiste). W roku 1947 Hans Freudenthal i van der Waerden znaleźli przykłady wielościanów spełniających warunki foremności podane w Elementach, lecz "nieforemnych" według obecnej definicji.

Piąty postulat Euklidesa[edytuj | edytuj kod]

Treść piątego postulatu Euklidesa to: Jeżeli prosta przecinająca dwie proste tworzy z nimi kąty jednostronnie wewnętrzne o sumie mniejszej niż dwa kąty proste, to te dwie proste przedłużone nieskończenie przecinają się po tej stronie, po której znajdują się kąty o sumie mniejszej od dwóch kątów prostych. Już starożytni matematycy próbowali wywnioskować piąty postulat Euklidesa z innych aksjomatów, ale mimo to przez niego wiodła droga do stworzenia geometrii Łobaczewskiego, która zmieniła poglądy na geometrię przestrzeni fizycznej i na geometrię, jako abstrakcyjną naukę matematyczną.

Piąty postulat udowadniali m.in. Posydoniusz, Ptolemeusz, Proklos, Nassir Eddin, D. Wallis, J. H. Lambert, A. N. Legendre, W. Bolyai, D. Saccheri, a pracowali nad nim również twórcy nowej geometrii: K. F. Gauss, J. Bolyai, M. Łobaczewski. Przyczyną tego jest złożoność tego postulatu i późne zastosowanie w Elementach – Euklides zastosował postulat V dopiero po 26 twierdzeniach, które udowodnił bez jego pomocy. Te dwie okoliczności nasuwały myśl, że prawda ustalona w postulacie V nie jest oczywista i że można ją wyprowadzić z innych, bardziej oczywistych, twierdzeń. Sam fakt wyrażony w tym postulacie nie podlega wątpliwości, a uczeni szukali tylko sposobu jego udowodnienia. Surowa krytyka jednak zawsze znajdowała we wszystkich tych próbach luki i to w końcu podało w wątpliwość niezaprzeczalności postulatu V.

Istnieją twierdzenia równoważne postulatowi V:, m.in. teza Legendre’a: Prostopadła i pochyła do danej prostej zawsze się przecinają, teza Wolfganga Bolyai: Na płaszczyźnie przez każde trzy punkty A, B, C nie leżące na jednej prostej można poprowadzić okrąg, teza Posydoniusza: W płaszczyźnie istnieją co najmniej trzy punkty jednakowo oddalone od danej prostej i leżące na jednej prostej, teza Wallisa: W płaszczyźnie istnieje co najmniej jedna para trójkątów podobnych nierównych.

Znaczenie[edytuj | edytuj kod]

Na strukturze dzieła Euklidesa wzorowali się zarówno matematycy i fizycy jak Galileusz czy Isaac Newton, jak i filozofowie (Barucha Spinozę i jego Ethica modo geometrico exposita). Pragnienie ścisłości i logicznej struktury, której wzorem przez stulecia były Elementy, ukształtowało sposób myślenia i już w nich można dopatrywać się zaczątków metodologii naukowej i późniejszej przewagi technicznej Zachodu nad kulturami Dalekiego Wschodu, poczynając od XVI wieku. Elementy Euklidesa były używane powszechnie jako podręcznik niemal do końca XIX wieku, czyli przez 2000 lat, zaś liczbą tłumaczeń na rozmaite języki świata ustępują jedynie Biblii.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Marek Kordos, Wykłady z historii matematyki, wyd. Script, Warszawa 2005, ISBN 83-89716-04-6
  • Witold Więsław, Matematyka i jej historia, wyd. Nowik, 1997, ISBN 83-905456-7-5
  • Artykuł Euclid's Elements, angielska Wikipedia

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]