Ciąg geometryczny

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Ciąg geometryczny - co najmniej trójelementowy ciąg liczbowy skończony bądź nieskończony, w którym każdy wyraz począwszy od drugiego, jest iloczynem wyrazu poprzedniego i pewnej stałej liczby różnej od zera, którą nazywa się ilorazem ciągu.

Każdy wyraz ciągu geometrycznego, prócz pierwszego (dla ciągów skończonych także ostatniego) jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich. Ciąg geometryczny nazywany jest też (choć coraz rzadziej) postępem geometrycznym.

[edytuj] Definicja i przykłady

Ciąg liczbowy (a_n)_{n \in \mathbb{N}} nazywamy ciągiem geometrycznym, jeżeli dla pewnej liczby q \, różnej od zera zachodzi warunek:

\bigwedge\limits_{n \in \mathbb{N}} a_{n+1}=a_n\cdot {q}

Liczbę q \, nazywamy wówczas ilorazem ciągu geometrycznego (a_n)_{n \in \mathbb{N}} .

Przykłady
  • Ciąg (1, 3, 9, 27, 81, 243, \ldots ) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q = 3 , \, natomiast
  • ciąg (1, 3, 6, 18, 54, 108, 224, \ldots ) nie jest ciągiem geometrycznym ( 3=1\cdot3, lecz 6=3\cdot 2 ) .

[edytuj] Własności

1. Trzy liczby (a_1, a_2, a_3) \, ustawione w danej kolejności tworzą ciąg geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat środkowej jest iloczynem dwóch skrajnych tzn. gdy:

a_{2}^2=a_{1} \cdot a_{3}

2. Zależność pomiędzy sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego:

\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}= q , \mbox{ } n \geqslant 2

3. Wzór na dowolny wyraz ciągu:

a_n=a_1 \cdot {q^{n-1}}

4. Wzór na sumę n pierwszych, a zarazem kolejnych wyrazów ciągu:

S_n=\sum_{k=1}^n a_1\cdot q^{k-1}=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}

gdzie:

  • S_n \, - suma n wyrazów ciągu
  • a_1 \, - pierwszy wyraz ciągu
  • q \, - iloraz ciągu

5. Ciąg geometryczny o dodatnim ilorazie jest monotoniczny. W przypadku, gdy pierwszy wyraz jest dodatni oraz:

  • iloraz jest większy od 1 - wyrazy ciągu geometrycznego rosną wykładniczo,
  • iloraz jest mniejszy 1 - maleją wykładniczo,
  • iloraz jest równy 1 - ciąg jest stały.

[edytuj] Zobacz też

Wikibooks
Źródło „http://pl.wikipedia.org/wiki/Ci%C4%85g_geometryczny”
Utwórz książkę