Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny - ciąg liczbowy (skończony bądź nieskończony), którego kolejny wyraz jest iloczynem wyrazu poprzedniego przez pewną stałą nazywaną ilorazem. Ciąg geometryczny, nazywany także postępem geometrycznym, można traktować jako multiplikatywną wersję (addytywnego) ciągu arytmetycznego.

Jeśli $I = \{1, 2, 3, \dots, n\}$ lub $I = \mathbb N$, to ciąg liczbowy $(a_n)_{n \in I}$ nazywa się ciągiem geometrycznym, gdy dla dowolnej liczby $n > 1$ zachodzi wzór

$a_n = qa_{n-1}$,

gdzie $q$ jest pewną stałą.

Jeśli $q$ jest różne od zera, to powyższy wzór można zapisać w postaci

$\frac{a_n}{a_{n-1}} = q$,

co tłumaczy zwyczajową nazwę liczby $q$.

Przykłady

• Ciąg $(1, 3, 9, 27, 81, \ldots)$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $3$.
• Ciąg $(5, 0, 0, 0, 0, \ldots)$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q = 0$.

Własności

Ponieważ

$a_n = qa_{n-1}$,

to prawdziwy jest też wzór

$a_n = q^{n-1} a_1$.

Każdy wyraz ciągu geometrycznego, prócz pierwszego (oraz ostatniego, jeśli ciąg jest skończony) jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich: jeśli $a_{i-1}, a_i, a_{i+1}$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego $(a_n)$, z których żaden nie jest pierwszym ani ostatnim, to prawdziwy jest wzór

$a_i^2 = a_{i-1} a_{i+1}$

Ciąg geometryczny o dodatnim ilorazie jest monotoniczny. W przypadku, gdy pierwszy wyraz jest dodatni, a iloraz jest

• równy 0, to ciąg jest stały oraz zbieżny do zera.
• równy 1, to ciąg jest stały oraz zbieżny do pierwszego wyrazu.
• równy -1, to ciąg jest naprzemienny, a przez to rozbieżny (granicami górnymi i dolnymi są pierwsze dwa wyrazy).
• większy od 1, to wyrazy ciągu geometrycznego rosną wykładniczo - ciąg jest rozbieżny do nieskończoności,
• mniejszy od -1, to wyrazy ciągu geometrycznego rosną wykładniczo - ciąg jest rozbieżny (nie ma granicy),
• większy od 0, mniejszy od 1, to wyrazy maleją wykładniczo - ciąg jest zbieżny do zera,
• mniejszy od 0, większy od -1, to wyrazy maleją wykładniczo (co do modułu) - ciąg jest zbieżny do zera,

Suma wyrazów

Jeśli dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$ o ilorazie $q,$ to suma $n$ pierwszych wyrazów ciągu jest dana jako

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n q^{k-1}a_1 = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$.

Jeśli ciąg $(a_n)$ jest nieskończony, to można rozpatrywać sumę szeregu o wyrazach będących elementami ciągu $(a_n)$ - zob. szereg geometryczny.

Zobacz też

• ciąg arytmetyczny
• szereg geometryczny