Pierwiastek kwadratowy z 2

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Pierwiastek kwadratowy z 2 jest równy długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego z jednostkowymi przyprostokątnymi.

Pierwiastek kwadratowy z liczby 2 (często pierwiastek [arytmetyczny] z 2) – dodatnia liczba algebraiczna, która pomnożona przez siebie daje w wyniku liczbę 2. Geometrycznie pierwiastek kwadratowy z 2 jest długością przekątnej kwadratu o boku długości 1, co wynika wprost z twierdzenia Pitagorasa (zob. rysunek obok).

Prawdopodobnie jest to pierwsza znana liczba niewymierna (zob. dowody niewymierności); jej rozwinięcie dziesiętne z dokładnością do 65 miejsca po przecinku[1] wynosi

1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799 ….

Dobrym przybliżeniem pierwiastka kwadratowego z 2 jest liczba wymierna \tfrac{99}{70}; choć mianownik tego ułamka ma wartość zaledwie 70, to błąd wartości faktycznej jest mniejszy niż 1/10000.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: liczby niewymierne.
Gliniana tabliczka babilońska YBC 7289 z adnotacjami.

Gliniana tabliczka babilońska YBC 7289 (ok. 1800–1600 p.n.e.) podaje przybliżenie \scriptstyle \sqrt 2 na czterech cyfrach sześćdziesiątkowych, co odpowiada dokładności około sześciu cyfr dziesiętnych[2]:

1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1{,}41421\overline{296}.

Inne wczesne przybliżenie tej wartości pochodzi ze staroindyjskich tekstów matematycznych, Sulba Sutras (ok. 800-200 p.n.e.) podaje: „Zwiększ długość [boku] o jego trzecią część i ćwierć trzeciej bez trzydziestej czwartej tej ćwierci.”[3], co daje

1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot4 \cdot 34} = \frac{577}{408} \approx 1{,}414215686.

To staroindyjskie przybliżenie jest siódmym w kolejności zwiększania dokładności przybliżeń opartych na ciągu liczb Pella, które mogą być wyznaczone w rozwinięciu ułamka łańcuchowego z \scriptstyle \sqrt 2.

Pitagorejczycy odkryli, że przekątna kwadratu jest niewspółmierna z jego bokiem, co dziś można by zawrzeć w stwierdzeniu, iż pierwiastek kwadratowy z 2 jest liczbą niewymierną (zob. Geometryczny dowód niewymierności). Niewiele wiadomo o czasie i okolicznościach tego odkrycia, ale często wspomniane jest imię Hippazosa z Metapontu. Obecnie uważa się, że starożytni Grecy traktowali odkrycie niewymierności pierwiastka kwadratowego z 2 jako „tajemnicę służbową”, a według legendy Hippazos miał zostać zamordowany za jej ujawnienie[4][5][6].

Niewymierność[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: liczby niewymierne.

Liczba \scriptstyle \sqrt 2 jest niewymierna, tzn. nie da się jej przedstawić w postaci ułamka zwykłego postaci \scriptstyle \tfrac{m}{n}, gdzie \scriptstyle m,\ nliczbami całkowitymi (ponieważ \scriptstyle \sqrt 2 > 0, to można ograniczyć się do dodatnich, tzn. naturalnych \scriptstyle m,\ n). Oba przedstawione dowody są rozumowaniami nie wprost, tj. prawdziwość twierdzenia wynika z faktu, iż przyjmując twierdzenie o wymierności pierwiastka z 2 popada się w sprzeczność z innym. W obu przypadkach będzie to brak jednoznaczności takiego przedstawienia.

Dowód geometryczny[edytuj | edytuj kod]

Ilustracja do geometrycznego dowodu niewymierności pierwiastka z 2.

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że stosunek długości \scriptstyle m przeciwprostokątnej \scriptstyle AC do długości \scriptstyle n dowolnej przyprostokątnej (\scriptstyle AB lub \scriptstyle BC) w równoramiennym trójkącie prostokątnym \scriptstyle ABC wynosi \scriptstyle \sqrt 2. Niech będzie on wielkością wymierną, tzn. istnieją dwie całkowite i dodatnie liczby \scriptstyle m,\ n, dla których \scriptstyle \sqrt 2 = \tfrac m n, przy czym są najmniejsze liczby o tej własności.

Przedłużając odcinek \scriptstyle AB do odcinka \scriptstyle AE o długości \scriptstyle m oraz odkładając na boku \scriptstyle AC odcinek \scriptstyle AD o długości \scriptstyle n otrzymuje się wraz z punktami \scriptstyle D,\ E rownież punkt \scriptstyle F będący punktem przecięcia odcinków \scriptstyle BC oraz \scriptstyle DE. Ponadto można wyróżnić dwa równoramienne trójkąty prostokątne \scriptstyle EBF oraz \scriptstyle CDF podobne do \scriptstyle ABC o przyprostokątnych długości \scriptstyle m - n i przeciwprostokątnych \scriptstyle 2n - m.

Ponieważ \scriptstyle n < m < 2n, to nieujemne długości \scriptstyle n' = m - n oraz \scriptstyle m' = 2n - m są mniejsze odpowiednio od \scriptstyle n oraz \scriptstyle m i również spełniają \scriptstyle \sqrt 2 = m'/n' (z konstrukcji), co przeczy założeniu minimalności liczb \scriptstyle m,\ n o tej własności. Sprzeczność ta dowodzi, iż \scriptstyle \sqrt 2 nie może być liczbą wymierną.

Dowód arytmetyczny[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle \sqrt 2 będzie liczbą wymierną, tzn. istnieją dwie takie liczby naturalne \scriptstyle m oraz \scriptstyle n, że \scriptstyle \sqrt 2 = m/n, przy czym każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci ułamka nieskracalnego, tzn. można założyć o liczniku i mianowniku tego ułamka, iż są względnie pierwsze, tj. ich jedynym wspólnym dzielnikiem jest jedynka.

Podnosząc powyższą równość obustronnie do kwadratu (drugiej potęgi) otrzymuje się \scriptstyle 2 = m^2/n^2, skąd \scriptstyle 2n^2 = m^2. Ponieważ \scriptstyle 2n^2 jest liczbą parzystą, to i \scriptstyle m^2 jest parzysta. Kwadrat liczby parzystej jest liczbą parzystą, a nieparzystej – nieparzystą[7]; stąd liczba \scriptstyle m jest parzysta, czyli istnieje taka liczba naturalna \scriptstyle k, dla której \scriptstyle m = 2k. Podstawienie tego równania do poprzedniego daje \scriptstyle m^2 = (2k)^2 = 4k^2, zatem \scriptstyle 2n^2 = 4k^2, tj. \scriptstyle n^2 = 2k^2, co ponownie oznacza, że liczba \scriptstyle n^2, a stąd i \scriptstyle n, jest parzysta.

Skoro tak \scriptstyle m jak i \scriptstyle n są parzyste, to dzielą się one przez \scriptstyle 2, a więc mają dzielnik różny od jedności. Sprzeczność ta dowodzi, że liczba \scriptstyle \sqrt 2 jest niewymierna.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Przekrój Dedekinda dla pierwiastka kwadratowego z 2.

Poza niewymiernością opisaną w poprzedniej sekcji pierwiastek z 2 ma szereg innych własności; przykładowo połowa √2 wynosząca ok. 0,70710 67811 86548, która bywa wykorzystywana przede wszystkim w geometrii i trygonometrii, gdyż wersor tworzący kąt 45° z osiami układu współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie euklidesowej ma współrzędne

\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right).

Liczba ta spełnia

\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos(45^\circ) = \sin(45^\circ).

Inną własnością pierwiastka kwadratowego z 2 jest:

 \!\ {1 \over {\sqrt{2} - 1}} = \sqrt{2} + 1

gdyż \left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)=2-1=1. Jest to związane z właściwościami srebrnego podziału.

Kolejna własność pierwiastka kwadratowego z 2 to:

\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2 + \cdots}}} = 2. \,

Pierwiastek kwadratowy z 2 może zostać wyrażony za pomocą jednostek urojonych i wykorzystując tylko pierwiastkowanie i operacje arytmetyczne:

\frac{\sqrt{i}+i \sqrt{i}}{i}\text{ i }\frac{\sqrt{-i}-i \sqrt{-i}}{-i}.

Pierwiastek kwadratowy z 2 jest także jedyną liczbą rzeczywistą różną od 1, której nieskończone potęgowanie przez siebie samą jest równe jej kwadratowi.

\sqrt{2}^ {\sqrt{2}^ {\sqrt{2}^ {\ \cdot^ {\cdot^ \cdot}}}} = 2

Pierwiastek kwadratowy z 2 może zostać użyty do aproksymacji π:

2^m\underbrace{ \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}} }_m \to \pi \quad \text{ gdy }m \to \infty\,

dla m pierwiastków kwadratowych i tylko jednego odejmowania[8].

Reprezentacje[edytuj | edytuj kod]

Przedstawienia
Dwójkowo 1,0110101000001001111…
Dziesiętnie 1,4142135623730950488…
Szesnastkowo 1,6A09E667F3BCC908B2F…
Ułamek łańcuchowy [1; 2, 2, 2, 2, \dots]

Tożsamość cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2, przy uwzględnieniu nieskończonych reprezentacji iloczynowych dla sinusa i cosinusa, prowadzi do następującej zależności

\frac{1}{\sqrt 2} = \prod_{k=0}^\infty
\left(1-\frac{1}{(4k+2)^2}\right) =
\left(1-\frac{1}{4}\right)
\left(1-\frac{1}{36}\right)
\left(1-\frac{1}{100}\right) \cdots

i

\sqrt{2} =
\prod_{k=0}^\infty
\frac{(4k+2)^2}{(4k+1)(4k+3)} =
\left(\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3}\right)
\left(\frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7}\right)
\left(\frac{10 \cdot 10}{9 \cdot 11}\right)
\left(\frac{14 \cdot 14}{13 \cdot 15}\right) \cdots

lub równoważnie,

\sqrt{2} =
\prod_{k=0}^\infty
\left(1+\frac{1}{4k+1}\right)
\left(1-\frac{1}{4k+3}\right)
=
\left(1+\frac{1}{1}\right)
\left(1-\frac{1}{3}\right)
\left(1+\frac{1}{5}\right)
\left(1-\frac{1}{7}\right) \cdots.

Ta liczba może także być wyrażona za pomocą szeregów Taylora z funkcji trygonometrycznych. Na przykład seria dla cos(π/4) daje

\frac{1}{\sqrt{2}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \left(\frac{\pi}{4}\right)^{2k}}{(2k)!}.

Szereg Taylora z √(1 + x) dla x = 1 i silnia podwójna n!! daje

\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1} \frac{(2k-3)!!}{(2k)!!} =
1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2\cdot4} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} -
\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6\cdot8} + \cdots.

Zbieżność szeregu może być przyspieszona przez przekształcenie Eulera, prowadzące do postaci

\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k+1)!}{(k!)^2 2^{3k+1}} = \frac{1}{2} +\frac{3}{8} +
\frac{15}{64} + \frac{35}{256} + \frac{315}{4096} + \frac{693}{16384} + \cdots.

Nie wiadomo czy √2 może być przedstawiony za pomocą formuły typu BBP, aczkolwiek formuły typu BBP są znane dla π√2 i √2 ln(1+√2)[9].

Przybliżenia[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: algorytm.

O doniosłości tej liczby mówi fakt, iż wśród stałych matematycznych z większą dokładnością obliczono jedynie stałą π[10]. Istnieje wiele algorytmów przybliżania pierwiastka kwadratowego z 2. Najczęściej stosowaną metodą, używaną jako podstawowa na wielu komputerach i kalkulatorach, jest tzw. „metoda babilońska”[11] obliczania pierwiastka kwadratowego (zwana także metodą Herona), która jest jedną z wielu metod. Algorytm jest następujący:

  • wybrać liczbę początkową \scriptstyle a_0 > 0, która ma wpływ jedynie na liczbę iteracji niezbędną do osiągnięcia przybliżenia z żądaną dokładnością;
  • wykonać kolejne obliczenia rekurencyjne:
    a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{2}{a_n}}{2} = \frac{a_n}{2} + \frac{1}{a_n}.

Zwiększenie liczby iteracji algorytmu, tj. przeprowadzenie obliczeń dla większej liczby \scriptstyle n, zwiększa średnio dwukrotnie liczbę poprawnych cyfr rozwinięcia. Przyjęcie \scriptstyle a_0 = 1 daje następujące przybliżenia

\begin{array}{lll} a_1 & = 3/2 & = \boldsymbol 1{,}5 \\ a_2 & = 17/12 & = \boldsymbol{1{,}41}6\dots \\ a_3 & = 577/408 & = \boldsymbol{1{,}41421}5\dots \\ a_4 & = 665857/470832 & = \boldsymbol{1{,}41421356237}46\dots \\ \dots & & \end{array}

W 1997 roku zespół Yasumasy Kanady obliczył wartość pierwiastka z 2 z dokładnością do 137 438 953 444 cyfr po przecinku. W lutym 2006 roku pobito rekord przybliżania tej liczby przy użyciu komputera domowego: Shigeru Kondo obliczył 200 000 000 000 cyfr po przecinku w nieco ponad 13 dni i 14 godzin używając PC 3,6 GHz z 16 GiB pamięci[12].

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Format papieru[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: format arkusza.
Cztery linie : cztery etapy konstrukcji arkusza o standardowych wymiarach za pomocą cyrkla i ekierki. Jeśli wymiar d wynosi 21 cm, to otrzymany prostokąt ma wymiary arkusza A4.
Stosunek długości do szerokości arkusza jest dobrym przybliżeniem √2.

Rozmiary papieru formatu A, B i C normy ISO 216 zostały celowo tak zaprojektowane żeby po podzieleniu na dwie równe części uzyskać dwa arkusze o tych samych proporcjach długości do szerokości. Jest to możliwe tylko jeśli ten stosunek wynosi √2. W praktyce rzeczywiste wymiary są zaokrąglone do pełnych milimetrów.

Przybliżone wymiary A0-A4 wyrażone w √2. W praktyce, wymiary są zaokrąglone.
format długość [m] szerokość [m] powierzchnia [m2]
A0 \sqrt{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} 1\,
A1 \frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{2} \frac{1}{2}
A2 \frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} \frac{1}{4}
A3 \frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} \frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{4} \frac{1}{8}
A4 \frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{4} \frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{ 4\sqrt{2}} \frac{1}{16}

Serie formatu B i C różnią się od serii A odpowiednio o czynnik √√2 (~ 1,19) i √√√2 (~ 1,09).

Współczynniki skalujące stosowane w kserokopiarkach o wartościach 200%, 141%, 71%, 50% to przybliżone wartości (√2)n. Umożliwiają one zmianę formatu na większą lub mniejszą, bądź też wydruk 2n kopii/stron na arkusz.

Muzyka[edytuj | edytuj kod]

System równomiernie temperowany jest utworzony w następujący sposób : stosunek częstotliwości między skrajnymi nutami w oktawie wynosi 2; a cała gama jest podzielona na dwanaście równych półtonów, tj. stosunek częstotliwości między kolejnymi dźwiękami jest stały i wynosi ƒ = 21/12.

Stosunek częstotliwości nuty w gamie równomiernie temperowanej do częstotliwości najniższej nuty w gamie.
do do re re mi fa fa sol sol la la si do
1 21/12 21/6 21/4 21/3 25/12 √2 27/12 22/3 23/4 25/6 211/12 2

W tym systemie, kwarta zwiększona (dofa♯) i kwinta zmniejszona (do-sol♭) są takie same, a odległość między dźwiękami wynosi 6 półtonów (tryton), których stosunek częstotliwości wynosi √2. W dawnej muzyce kościelnej używanie kwinty zmniejszonej lub kwarty zwiększonej było zakazane, ponieważ interwały te wydawały się takimi dysonansami, że uznawano je za stworzone przez diabła, nazywając je z łaciny "diabolus in musica" (dosłownie "diabeł w muzyce").

Elektryczność[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: Wartość skuteczna.

Ogólnie znana wartość napięcia elektrycznego 230V, to wartość skuteczna napięcia przemiennego. Aby poznać wartość maksymalną tego napięcia należy wartość skuteczną pomnożyć przez √2.

U_{max} = U_{sk} \sqrt{2} = 230 V  \sqrt{2} \simeq 325 V

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. (ciąg A002193 w OEIS)
  2. Fowler and Robson, s. 368.
    Zdjęcie, szkic i opis tabliczki root(2) z Yale Babylonian Collection
    Zdjęcia wysokiej rozdzielczości, opisy i analiza tabliczki root(2) (YBC 7289) z Yale Babylonian Collection
  3. Henderson.
  4. Stephanie J. Morris, „The Pythagorean Theorem”, Dept. of Math. Ed., University of Georgia.
  5. Brian Clegg, „The Dangerous Ratio…”, Nrich.org, November 2004.
  6. Kurt von Fritz, „The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum”, Annals of Mathematics, 1945.
  7. Twierdzenie: Kwadrat liczby naturalnej \scriptstyle n^2 jest liczbą parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle n jest liczbą parzystą.
    Dowód: (→) Jeśli \scriptstyle n = 2k jest parzysta, to równość \scriptstyle n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2), oznacza, iż \scriptstyle n^2 jest parzysta, gdyż \scriptstyle 2k^2 jest liczbą naturalną jako ich iloczyn. (←) Dowód nie wprost: skoro \scriptstyle n = 2k + 1 jest nieparzysta, to \scriptstyle n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1, co oznacza, że \scriptstyle n^2 jest nieparzysta jako suma liczby parzystej oraz jedności.
  8. Richard Courant, Herbert Robbins: What is mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods. London: Oxford University Press, 1941.
  9. http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/bbp-formulas.pdf
  10. Liczba znanych cyfr
  11. Mimo że określenie „metoda babilońska” jest w ogólnym użyciu, nie ma przesłanek wskazujących jak Babilończycy obliczyli przybliżenie \scriptstyle \sqrt 2 odczytane z tabliczki YBC 7289. Fowler i Robson proponują informacje i szczegółowe domysły (Fowler i Robson, s. 376. Flannery, s. 32, 158).
  12. http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html Constants and Records of Computation