Rozwinięcie Laplace’a

Rozwinięcie Laplace’a – wzór rekurencyjny określający wyznacznik $n$$n$-tego stopnia macierzy kwadratowej o wymiarach $n\times n$$n\times n$. Nazwa wzoru pochodzi od francuskiego matematyka Laplace’a

Wyznacznik $\det A$$\det A$ macierzy $A_{n\times n}$$A_{n\times n}$ znajduje się z następującego wzoru:

$\det A=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$$\det A=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$

gdzie:

$i\ \ \;$$i\ \ \;$ jest ustalone i określa wiersz macierzy, względem którego następuje rozwinięcie

$a_{ij}\;$$a_{ij}\;$ jest elementem macierzy w $i$$i$-tym wierszu i $j$$j$-tej kolumnie

$A_{ij}\;$$A_{ij}\;$ jest dopełnieniem algebraicznym elementu $a_{ij}\;$$a_{ij}\;$

Prawa strona powyższego wzoru nazywana jest rozwinięciem względem $i$$i$-tego wiersza. Wartość powyższej sumy nie zależy od wyboru wskaźnika wiersza i. Można analogicznie sformułować wyznacznik poprzez rozwinięcie względem $j$$j$-tej kolumny.

Twierdzenie Laplace’a pozwala obliczyć wyznacznik macierzy bez korzystania z bardzo czasochłonnej metody opartej na definicji wyznacznika.

Przykład

Przy obliczaniu wyznacznika korzystamy z twierdzenia Laplace’a tak długo, aż uzyskamy macierze, których wyznaczniki można obliczyć wprost (drugiego, trzeciego stopnia). Dobrze jest przy tym skorzystać z faktu, iż dodanie lub odjęcie od dowolnego wiersza/kolumny innego wiersza/kolumny lub kombinacji liniowej tychże nie zmienia wartości wyznacznika i tym sposobem wyzerować jak najwięcej elementów pewnego wiersza/kolumny.

Obliczmy wyznacznik następującej macierzy czwartego stopnia:

$\ A={\begin{bmatrix}0&1&2&7\\1&2&3&4\\5&6&7&8\\-1&1&-1&1\end{bmatrix}}$$\ A={\begin{bmatrix}0&1&2&7\\1&2&3&4\\5&6&7&8\\-1&1&-1&1\end{bmatrix}}$

Wygenerujmy jak najwięcej zer w ostatnim wierszu (z wyjątkiem np. ostatniego wyrazu): dodajmy czwartą kolumnę do pierwszej oraz trzeciej, zaś odejmijmy ją od drugiej:

$\det A={\begin{vmatrix}0+\color {Brown}7&1-\color {Brown}7&2+\color {Brown}\color {Brown}7&\color {Brown}7\\1+\color {Brown}4&2-\color {Brown}4&3+\color {Brown}4&\color {Brown}4\\5+\color {Brown}8&6-\color {Brown}8&7+\color {Brown}8&\color {Brown}8\\-1+\color {Brown}1&1-\color {Brown}1&-1+\color {Brown}1&\color {Brown}1\end{vmatrix}}\ ={\begin{vmatrix}7&-6&9&7\\5&-2&7&4\\13&-2&15&8\\0&0&0&{\color {blue}1}\end{vmatrix}}$$\det A={\begin{vmatrix}0+\color {Brown}7&1-\color {Brown}7&2+\color {Brown}\color {Brown}7&\color {Brown}7\\1+\color {Brown}4&2-\color {Brown}4&3+\color {Brown}4&\color {Brown}4\\5+\color {Brown}8&6-\color {Brown}8&7+\color {Brown}8&\color {Brown}8\\-1+\color {Brown}1&1-\color {Brown}1&-1+\color {Brown}1&\color {Brown}1\end{vmatrix}}\ ={\begin{vmatrix}7&-6&9&7\\5&-2&7&4\\13&-2&15&8\\0&0&0&{\color {blue}1}\end{vmatrix}}$

Redukujemy w ten sposób wyznacznik macierzy czwartego stopnia do iloczynu skalara, oraz wyznacznika macierzy trzeciego stopnia. Stosując rozwinięcie Laplace’a względem czwartego wiersza (pamiętać należy o znakach wyliczanych minorów) dostaniemy:

$\det A=(-1)^{4+1}\cdot 0\cdot {\begin{vmatrix}-6&9&7\\-2&7&4\\-2&15&8\end{vmatrix}}+(-1)^{4+2}\cdot 0\cdot {\begin{vmatrix}7&9&7\\5&7&4\\13&15&8\end{vmatrix}}+(-1)^{4+3}\cdot 0\cdot {\begin{vmatrix}7&-6&7\\5&-2&4\\13&-2&8\end{vmatrix}}+(-1)^{4+4}\cdot {\color {blue}1}\cdot {\begin{vmatrix}7&-6&9\\5&-2&7\\13&-2&15\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}7&-6&9\\5&-2&7\\13&-2&15\end{vmatrix}}$$\det A=(-1)^{4+1}\cdot 0\cdot {\begin{vmatrix}-6&9&7\\-2&7&4\\-2&15&8\end{vmatrix}}+(-1)^{4+2}\cdot 0\cdot {\begin{vmatrix}7&9&7\\5&7&4\\13&15&8\end{vmatrix}}+(-1)^{4+3}\cdot 0\cdot {\begin{vmatrix}7&-6&7\\5&-2&4\\13&-2&8\end{vmatrix}}+(-1)^{4+4}\cdot {\color {blue}1}\cdot {\begin{vmatrix}7&-6&9\\5&-2&7\\13&-2&15\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}7&-6&9\\5&-2&7\\13&-2&15\end{vmatrix}}$

Zredukujmy raz jeszcze współczynniki macierzy kolumnowo – odejmijmy pierwszą od ostatniej, następnie trzecią dodajmy do drugiej:

$\det A={\color {blue}1}\cdot {\begin{vmatrix}7&-6&9\\5&-2&7\\13&-2&15\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}7&-6&2\\5&-2&2\\13&-2&2\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}7&{\color {red}-4}&2\\5&0&2\\13&0&2\end{vmatrix}}$$\det A={\color {blue}1}\cdot {\begin{vmatrix}7&-6&9\\5&-2&7\\13&-2&15\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}7&-6&2\\5&-2&2\\13&-2&2\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}7&{\color {red}-4}&2\\5&0&2\\13&0&2\end{vmatrix}}$.

Ponownie korzystamy z rozwinięcia Laplace’a, tym razem względem drugiej kolumny:

$\det A=(-1)^{1+2}\cdot ({\color {red}-4})\cdot {\begin{vmatrix}5&2\\13&2\end{vmatrix}}=4\cdot {\begin{vmatrix}5&2\\13&2\end{vmatrix}}$$\det A=(-1)^{1+2}\cdot ({\color {red}-4})\cdot {\begin{vmatrix}5&2\\13&2\end{vmatrix}}=4\cdot {\begin{vmatrix}5&2\\13&2\end{vmatrix}}$.

Z kolei zredukujemy współczynniki w ostatnim wierszu, odejmując pierwszy wiersz od drugiego:

$\det A=4\cdot {\begin{vmatrix}5&2\\13&2\end{vmatrix}}=4\cdot {\begin{vmatrix}5&2\\{\color {OliveGreen}8}&0\end{vmatrix}}$$\det A=4\cdot {\begin{vmatrix}5&2\\13&2\end{vmatrix}}=4\cdot {\begin{vmatrix}5&2\\{\color {OliveGreen}8}&0\end{vmatrix}}$.

i po raz ostatni korzystamy z twierdzenia, tym razem rozwijając względem drugiego wiersza:

$\det A=4\cdot (-1)^{2+1}\cdot {\color {OliveGreen}8}\cdot {\begin{vmatrix}2\end{vmatrix}}=4\cdot (-1)\cdot 8\cdot 2=-64$$\det A=4\cdot (-1)^{2+1}\cdot {\color {OliveGreen}8}\cdot {\begin{vmatrix}2\end{vmatrix}}=4\cdot (-1)\cdot 8\cdot 2=-64$.

Zobacz też

• macierz
• wyznacznik
• operator liniowy