Rozwinięcie Laplace’a – wzór rekurencyjny określający wyznacznik
-tego stopnia macierzy kwadratowej o wymiarach
Nazwa wzoru pochodzi od francuskiego matematyka Laplace’a.
Niech
Wówczas:
- dla każdego ustalonego
zachodzi 
- dla każdego ustalonego
zachodzi 
gdzie:
jest elementem macierzy w
-tym wierszu i
-tej kolumnie,
jest dopełnieniem algebraicznym elementu 
Powyższe wzory nazywamy rozwinięciami Laplace’a, pierwszy względem
-tej kolumny, a drugi względem
-tego wiersza[1].
Przy obliczaniu wyznacznika korzystamy z twierdzenia Laplace’a tak długo, aż uzyskamy macierze, których wyznaczniki można obliczyć wprost (drugiego, trzeciego stopnia). Dobrze jest przy tym skorzystać z faktu, iż dodanie lub odjęcie od dowolnego wiersza/kolumny innego wiersza/kolumny lub kombinacji liniowej tychże nie zmienia wartości wyznacznika i tym sposobem wyzerować jak najwięcej elementów pewnego wiersza/kolumny.
Obliczmy wyznacznik następującej macierzy czwartego stopnia:

Wygenerujmy jak najwięcej zer w ostatnim wierszu (z wyjątkiem np. ostatniego wyrazu): dodajmy czwartą kolumnę do pierwszej oraz trzeciej, zaś odejmijmy ją od drugiej:

Redukujemy w ten sposób wyznacznik macierzy czwartego stopnia do iloczynu skalara, oraz wyznacznika macierzy trzeciego stopnia. Stosując rozwinięcie Laplace’a względem czwartego wiersza (pamiętać należy o znakach wyliczanych minorów) dostaniemy:

Zredukujmy raz jeszcze współczynniki macierzy kolumnowo – odejmijmy pierwszą od ostatniej, następnie trzecią dodajmy do drugiej:

Ponownie korzystamy z rozwinięcia Laplace’a, tym razem względem drugiej kolumny:

Z kolei zredukujemy współczynniki w ostatnim wierszu, odejmując pierwszy wiersz od drugiego:

i po raz ostatni korzystamy z twierdzenia, tym razem rozwijając względem drugiego wiersza:

Wektory i działania na nich |
|
---|
Układy wektorów i ich macierze |
|
---|
Wyznaczniki i miara układu wektorów |
|
---|
Przestrzenie liniowe |
|
---|
Iloczyny skalarne |
|
---|
Pojęcia zaawansowane |
|
---|
Pozostałe pojęcia |
|
---|
Powiązane dyscypliny |
|
---|
uczeni według daty narodzin | |
---|