Uogólniona macierz odwrotna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
Cechy niezależne od bazy:
macierz nieosobliwa
macierz osobliwa
macierz zerowa
macierz nilpotentna
macierz idempotentna

macierz ortogonalna
macierz symetryczna
macierz dodatnio określona
macierz antysymetryczna

macierz unitarna
macierz hermitowska

Cechy zależne od bazy:
macierz jednostkowa
macierz skalarna
macierz diagonalna
macierz trójkątna
macierz schodkowa
macierz klatkowa
macierz wstęgowa

macierz elementarna
macierz rzadka


Operacje na macierzach
operacje elementarne

mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie

mnożenie macierzy
odwracanie macierzy

transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona

diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
rząd macierzy
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
minor macierzy

widmo macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Uogólniona macierz odwrotna – uogólnienie pojęcia macierzy odwrotnej na macierze prostokątne. Zamiennie używa się pojęć pseudoodwrotności, pseudoinwersji. Pojęcie to opracowali niezależnie od siebie E. H. Moore w 1920 i Roger Penrose w 1955 roku. Wcześniej, w 1903, pomysł pseudoodwrotności operatorów całkowych zaproponował Fredholm. Artykuł traktuje o uogólnieniu zaproponowanym przez Moore'a i Penrose'a, istnieją jednak także inne uogólnienia macierzy odwrotnej, których artykuł ten nie obejmuje.

Definicja[edytuj]

Niech będzie macierzą nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Macierz nazywamy uogólnioną macierzą odwrotną do , jeżeli spełnia ona cztery poniższe warunki:

  • ,
  • ,
  • ,
  • ,

gdzie oznacza sprzężenie hermitowskie macierzy.

Innym sposobem definiowania uogólnionej odwrotności jest określenie jej jako granicy:

.

Definicja ta jest poprawna, ponieważ granice te istnieją nawet wówczas, gdy macierze oraz nie istnieją.

Dla macierzy nad ciałem liczb rzeczywistych sprzężenie hermitowskie jest równoważne transpozycji macierzy. Macierz jest wyznaczona jednoznacznie i jest wówczas oznaczana zwykle przez .

Własności[edytuj]

Własności uogólnionej macierzy odwrotnej są podobne do własności zwykłej macierzy odwrotnej z tym, że każda macierz jest pseudoodwracalna (istnieje macierz do niej pseudoodwrotna):

  • Pseudoodwrotność macierzy jest inwolucją
    .
  • Zachodzą następujące przemienności
    (z transpozycją),
    (ze sprzężeniem trywialnym),
    (ze sprzężeniem hermitowskim).
  • Dla każdego zachodzi równość
    .

Zobacz też[edytuj]