Przejdź do zawartości

Uogólniona macierz odwrotna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Uogólniona macierz odwrotna – uogólnienie pojęcia macierzy odwrotnej na macierze prostokątne. Zamiennie używa się pojęć pseudoodwrotności, pseudoinwersji. Pojęcie to opracowali niezależnie od siebie E. H. Moore w 1920 i Roger Penrose w 1955 roku. Wcześniej, w 1903, pomysł pseudoodwrotności operatorów całkowych zaproponował Fredholm. Artykuł traktuje o uogólnieniu zaproponowanym przez Moore’a i Penrose’a, istnieją jednak także inne uogólnienia macierzy odwrotnej, których artykuł ten nie obejmuje.

Definicja

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie macierzą nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Macierz nazywamy uogólnioną macierzą odwrotną do jeżeli spełnia ona cztery poniższe warunki:

gdzie oznacza sprzężenie hermitowskie macierzy.

Innym sposobem definiowania uogólnionej odwrotności jest określenie jej jako granicy:

Definicja ta jest poprawna, ponieważ granice te istnieją nawet wówczas, gdy macierze oraz nie istnieją.

Dla macierzy nad ciałem liczb rzeczywistych sprzężenie hermitowskie jest równoważne transpozycji macierzy. Macierz jest wyznaczona jednoznacznie i jest wówczas oznaczana zwykle przez

Własności

[edytuj | edytuj kod]

Własności uogólnionej macierzy odwrotnej są podobne do własności zwykłej macierzy odwrotnej z tym, że każda macierz jest pseudoodwracalna (istnieje macierz do niej pseudoodwrotna):

  • Pseudoodwrotność macierzy jest inwolucją
  • Zachodzą następujące przemienności
    (z transpozycją),
    (ze sprzężeniem trywialnym),
    (ze sprzężeniem hermitowskim).
  • Dla każdego zachodzi równość

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]