Przestrzeń Grothendiecka

Przestrzeń Grothendiecka (przestrzeń Banacha o własności Grothendiecka) – przestrzeń Banacha o tej własności, że każdy ciąg punktów jej przestrzeni sprzężonej, który jest zbieżny w sensie *-słabej topologii jest również zbieżny w sensie słabej topologii. Równoważnie, przestrzeń Banacha $E$ jest przestrzenią Grothendiecka, gdy dla każdego ciągu $(f_{n})$ funkcjonałów liniowych i ciągłych na $E,$ który spełnia warunek

$\langle f_{n},x\rangle \,\xrightarrow {n\to \infty } \,0\;\;\;(x\in E)$

zachodzi również

$\langle x^{**},f_{n}\rangle \,\xrightarrow {n\to \infty } \,0\;\;\;(x^{**}\in E^{**}).$

Nazwa pojęcia pochodzi od A. Grothendiecka, który udowodnił, że przestrzenie Banacha $C(K)$ funkcji ciągłych na ekstremalnie niespójnych przestrzeniach zwartych Hausdorffa $K,$ wyposażone w normę supremum, są przestrzeniami Grothendiecka (sam Grothendieck nie nazywał ich w taki sposób). W szczególności, przestrzeń $\ell _{\infty }=C(\beta N)$ jest więc przestrzenią Grothendiecka ($\beta N$ oznacza uzwarcenie Čecha-Stone’a zbioru liczb naturalnych z topologią dyskretną). Ogólniej, każda przestrzeń Banacha postaci $L_{\infty }(\mu )$ jest przestrzenią Grothendiecka.

Własności i przykłady

• Ilorazy (a więc także podprzestrzenie komplementarne) przestrzeni Grothendiecka są przestrzeniami Grothendiecka. Przestrzeń izomorficzna z przestrzenią Grothendiecka jest przestrzenią Grothendiecka. Domknięte podprzestrzenie przestrzeni Grothendiecka nie muszą być przestrzeniami Grothendiecka.
• Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Grothendiecka jest słabo ciągowo zupełna.
• Każda przestrzeń refleksywna ma własność Grothendiecka.

Dowód. Niech $E$ będzie przestrzenią refleksywną. Wówczas $E^{*}=(E^{**})^{*},$ skąd wynika, że topologie słaba i *-słaba w $E^{*}$ są równe. W szczególności, więc mają te same ciągi zbieżne. □

Przeciwna implikacja zachodzi dla przestrzeni ośrodkowych: każda ośrodkowa przestrzeń Grothendiecka jest refleksywna. Wynika to bezpośrednio z następującego twierdzenia (oraz faktu, że przestrzeń Banacha $E$ jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy identyczność na $E$ jest operatorem słabo zwartym: Niech $E$ będzie przestrzenią Banacha. Wówczas następujące warunki są równoważne:

1) $E$ jest przestrzenią Grothendiecka,

2) jeżeli $F$ jest ośrodkową przestrzenią Banacha, to każdy operator liniowy i ciągły $T\colon E\to F$ jest słabo zwarty,

3) każdy operator liniowy i ciągły $T\colon E\to c_{0}$ jest słabo zwarty.

W szczególności, ponieważ przestrzeń $c_{0}$ jest ośrodkowa, ale nie jest refleksywna, z twierdzenia tego wynika, że $c_{0}$ nie jest przestrzenią Grothendiecka (inne dowody tego faktu są podane niżej).

Dowód. 1) ⇒ 2). Niech $E$ będzie przestrzenią Grothendiecka, $F$ będzie ośrodkową przestrzenią Banacha oraz niech $T\colon E\to F$ będzie operatorem liniowym i ciągłym. Z twierdzenia Gantmachier wynika, że $T$ jest słabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego operator sprzężony $T^{*}\colon F^{*}\to E^{*}$ jest słabo zwarty. Z twierdzenia Eberleina-Szmuljana wynika, że słaba zwartość operatora $T^{*}$ jest równoważna temu by dla każdego ciągu ograniczonego $(f_{n})$ w $F^{*}$ dało się wybrać podciąg słabo zbieżny z ciągu $(T^{*}\ f_{n}).$ Ponieważ jednak $F$ jest ośrodkowa, domknięte i ograniczone podzbiory $F^{*}$ są metryzowalne w *-słabej topologii, a więc *-słabo ciągowo zwarte (por. twierdzenie Banacha-Alaoglu). Istnieje więc podciąg $(f_{n_{k}})$ ciągu $(f_{n}),$ który jest *-słabo zbieżny. Ponieważ operator $T^{*}$ jest ciągły, względem *-słabych topologii w $F^{*}$ i $E^{*},$ ciąg wartości $(T^{*}f_{n_{k}})$ jest zbieżny *-słabo w $E^{*},$ a więc z założenia, że $E$ jest przestrzenią Grothendiecka, ciąg $(T^{*}f_{n_{k}})$ zbiega słabo w $E^{*},$ dowodząc, że operator $T^{*}$ (a tym samym również $T$) jest słabo zwarty.

Implikacja 2) ⇒ 3) jest spełniona automatycznie, ponieważ $c_{0}$ jest przestrzenią ośrodkową.

Pozostaje do wykazania implikacja 3) ⇒ 1). Niech $(f_{n})$ będzie ciągiem elementów przestrzeni $E^{*}$ zbieżnym *-słabo do 0. W szczególności, dla dowolnego elementu $x$ przestrzeni $E$ funkcjonał $\kappa$ na $E^{*}$ dany wzorem $\kappa (f)=\langle f,\ x\rangle$ jest *-słabo ciągły oraz ciąg skalarów $\langle f_{n},\ x\rangle$ zbiega do 0. Niech

$Tx=(\langle f_{n},x\rangle )_{n=1}^{\infty }\quad (x\in E).$

Wzór ten definiuje operator liniowy i ciągły $T\colon E\to c_{0},$ który z założenia jest słabo zwarty. Z twierdzenia Gantmachier wynika, że $T^{**}\colon E^{**}\to c_{0}^{**}$ jest również słabo zwarty, co oznacza, że

$T^{**}[E^{**}]\subseteq c_{0}.$

Przestrzeń $\ell _{1}$ jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią sprzężoną przestrzeni $c_{0}$ (zob. dualizm między $c_{0}$ a $\ell _{1}$). Niech $(e_{n})$ będzie bazą kanoniczną przestrzeni $\ell _{1},$ tj. dla każdego $n$ zachodzi

$\langle e_{n},g\rangle =g(n)\quad (g\in c_{0}).$

Dla każdego $x\in E$ zachodzi wówczas

$\langle T^{*}e_{n},x\rangle =\langle e_{n},Tx\rangle =\langle f_{n},x\rangle .$

Wynika stąd, że

$\langle e_{n},T^{**}x^{**}\rangle =\langle T^{*}e_{n},x^{**}\rangle =\langle f_{n},x^{**}\rangle \quad (x^{**}\in E^{**}).$

Jednak

$(\langle f_{n},x^{**}\rangle )_{n=1}^{\infty }\in c_{0},$

gdyż $T^{**}$ przyjmuje wartości w $c_{0},$ co dowodzi, że $f_{n}$ zbiega słabo do 0. □

• Przestrzeń Hardy'ego $H^{\infty }$ jest przestrzenią Grothendiecka.
• Każda algebra von Neumanna (a więc w szczególności przestrzeń $B(H)$ operatorów ograniczonych i ciągłych na przestrzeni Hilberta) jest przestrzenią Grothendiecka. Podobne twierdzenie zachodzi również w nieco szerszej klasie C*-algebr: każda C*-algebra Rickarta jest przestrzenią Grothendiecka. Przestrzeń operatorów ograniczonych i ciągłych na przestrzeni refleksywnej nie musi być jednak przestrzenią Grothendiecka.
• Gdy $p\in (1,\infty ),$ to ℓ_p-suma ciągu $(E_{n})$ przestrzeni Banacha jest przestrzenią Grothendiecka wtedy i tylko wtedy, gdy każda z przestrzeni $E_{n}$ jest przestrzenią Grothendiecka. $\ell _{\infty }$-sumy przestrzeni Grothendiecka (nawet przestrzeni skończenie wymiarowych) nie muszą być przestrzeniami Grothendiecka – stosownym kontrprzykładem jest ℓ_∞-suma przestrzeni n-wymiarowych z normą $\ell _{1},$ tj.

$\textstyle {\left(\bigoplus _{n=1}^{\infty }\ell _{1}^{n}\right)_{\ell _{\infty }}}$

(przestrzeń ta zawiera komplementarną podprzestrzeń izomorficzną z $\ell _{1}$).

• Jeżeli $\mu$ jest miarą, która nie jest czysto atomowa, to przestrzeń $L_{p}(E)$ funkcji całkowalnych (w sensie Bochnera) w p-tej potędze $(p\in (1,\infty ))$ o wartościach w przestrzeni Banacha $E$ jest przestrzenią Grothendiecka wtedy i tylko wtedy, gdy $E$ jest refleksywna (wówczas sama przestrzeń $L_{p}(E)$ jest refleksywna).

Własność Grothendiecka w przestrzeniach C(K) funkcji ciągłych

W dalszym ciągu $K$ oznacza zwartą przestrzeń Hausdorffa oraz $C(K)$ oznacza przestrzeń Banacha funkcji ciągłych na $K$ przyjmujących wartości rzeczywiste bądź zespolone z normą supremum.

• Grothendieck udowodnił, że jeżeli $K$ jest zwartą przestrzenią ekstremalnie niespójną, to $C(K)$ ma własność Grothendiecka. Andô udowodnił, że tę samą własność mają przestrzenie $C(K),$ gdy $K$ jest przestrzenią σ-Stone’owską. Seever uogólnił te wyniki, pokazując, że jeżeli $K$ jest zwartą F-przestrzenią, to przestrzeń $C(K)$ ma własność Grothendiecka.
• Jeżeli $K$ jest zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz przestrzeń $C(K)$ jest przestrzenią Grothendiecka, to $K$ nie zawiera ciągów zbieżnych poza tymi, które są prawie wszędzie stałe, tj. trywialne.

Dowód. Rozumując nie wprost, niech $(x_{n})$ będzie nietrywialnym ciągiem zbieżnym w przestrzeni $K$ (nietrywialność oznacza, że ciąg ten przyjmuje nieskończenie wiele wartości). Z twierdzenia Riesza o reprezentacji wynika, że przestrzeń sprzężoną do $C(K)$ można utożsamić z przestrzenią $M(K)$ regularnych miar borelowskich na $K.$ Ponieważ odwzorowanie przyporządkowujące elementowi $x\in K$ deltę Diraca $\delta _{x}$ (a więc miarę borelowską na $K$) jest zanurzeniem homeomorficznym względem *-słabej topologii w $M(K)$ przestrzeni $K$ w $M(K),$ więc ciąg $(\delta _{x_{n}})$ jest *-słabo zbieżny. Z założenia, że $C(K)$ jest przestrzenią Grothendiecka, ciąg ten jest zbieżny w słabej topologii przestrzeni $M(K),$ co jednak prowadzi do sprzeczności, gdyż zbiór

$D=\{\delta _{x_{n}}\colon n\in \mathbb {N} \}$

jest dyskretny w słabej topologii. Istotnie, dla każdego zbioru borelowskiego $B\subseteq K$ wzór

$F_{B}(\mu )=\mu (B)\quad (\mu \in M(K))$

określa funkcjonał liniowy i ciągły na $M(K).$ W szczególności, dla każdej liczby naturalnej $k$ zbiór

$U_{k}=\{\mu \in M(K)\colon |F_{\{x_{k}\}}(\mu )|>0\}=\{\mu \in M(K)\colon |\mu (\{x_{k}\})|>0\}.$

jest otwarty w słabej topologii przestrzeni $M(K).$ Z drugiej strony, jedynym elementem zbioru $D,$ który należy do $U_{k}$ jest $x_{k},$ co dowodzi, że $D$ jest dyskretny. □

Wynika stąd, że przestrzeń $c_{0}$ nie jest przestrzenią Grothendiecka, gdyż jest ona izomorficzna z $C[0,\omega ]$ ($\omega$ oznacza najmniejszą nieskończoną liczbę porządkową, a $[0,\omega ]$ zawiera nietrywialny ciąg zbieżny). Fakt ten można pokazać jednak w sposób elementarny:

Dowód. Niech $(e_{n})$ będzie bazą kanoniczną przestrzeni $\ell _{1}.$ Wówczas $(e_{n})$ jest ciągiem zbieżnym *-słabo do 0, ponieważ

$\lim _{n\to \infty }\langle e_{n},g\rangle =0$

dla każdego ciągu $g$ z $c_{0}.$ Ciąg ten jednak nie jest zbieżny w słabej topologii. Istotnie, niech $g$ będzie elementem $\ell _{\infty }$ określonym wzorem

$g(n)=(-1)^{n}\quad (n\in \mathbb {N} ).$

Granica tego ciągu nie istnieje, a więc ciąg $(e_{n})$ nie jest słabo zbieżny. □

• Istnieją przestrzenie zwarte $K,$ które nie mają ciągów zbieżnych, ale dla których $C(K)$ nie jest przestrzenią Grothendiecka. Cembranos udowodniła jednak, że przestrzeń $C(K)$ jest przestrzenią Grothendiecka wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera ona komplementarnej podprzestrzeni izomorficznej z przestrzenią $c_{0}$. Twierdzenie Cembranos sprowadza się de facto do sprawdzenia, że przestrzenie $C(K)$ mają własność Pełczyńskiego $(V)$ i zastosowania rezultatu Räbigera, mówiącego że przestrzenie Banacha o własności Pełczyńskiego $(V)$ są przestrzeniami Grothendiecka wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawierają komplementarnej podprzestrzeni izomorficznej z $c_{0}.$ (Cembranos dowodzi tego faktu niezależnie.) Ghenciu i Lewis dowiedli, że przestrzeń $C(K)$ jest przestrzenią Grothendiecka wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ograniczony operator liniowy $T\colon C(K)\to c_{0}$ jest całkowicie ciągły.
• Przestrzeń $C(K,E)$ funkcji ciągłych na przestrzeni zwartej $K$ o wartościach w przestrzeni Banacha $E$ jest przestrzenią Grothendiecka tylko w dwóch przypadkach:

1) $K$ jest skończone i $E$ jest przestrzenią Grothendiecka,

2) $E$ jest skończenie wymiarowa i $C(K)$ jest przestrzenią Grothendiecka.

Cembranos wzmocniła to twierdzenie dowądząc, że jeżeli $K$ jest nieskończoną przestrzenią zwartą oraz $E$ jest nieskończenie wymiarową przestrzenią Banacha, to przestrzeń $C(K,E)$ zawiera komplementarną podprzestrzeń izomorficzną z $c_{0}.$

• Gdy $K$ jest taką przestrzenią zwartą Hausdorffa, że $C(K)$ jest przestrzenią Grothendiecka, to $C(K)$ nie musi zawierać izomorficznej kopii przestrzeni $\ell _{\infty }.$ Pierwszy przykład takiej przestrzeni $K,$ pod założeniem hipotezy continuum, podał Talagrand – przykład Talagranda ma tę dodatkową własność, iż żaden iloraz skonstruowanej przez niego przestrzeni nie zawiera $\ell _{\infty }.$ Haydon zbudował w ZFC przykład przestrzeni Grothendiecka $C(K),$ która nie zawiera $\ell _{\infty }$. Istnieją także zwarte przestrzenie spójne dla których przestrzeń $C(K)$ ma te własności
• Jest niesprzeczne z ZFC, że istnieje algebra Boole’a $B$ mocy mniejszej niż continuum o tej własności, że przestrzeń $C(\operatorname {Ult} B)$ ma własność Grothendiecka ($\operatorname {Ult} B$ oznacza przestrzeń Stone’a algebry $B$).

Bibliografia

• J. Diestel, Geometry of Banach spaces-Selected Topics, Springer, 1975.
• J. Diestel, J.J. Uhl: Vector measures. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1977. ISBN 978-0-8218-1515-1.brak strony w książce
• M. González, T. Kania, Grothendieck spaces: the landscape and perspectives, Japanese Journal of Mathematics 16, 247–313 (2021).