Równanie Langevina

Równanie Langevina - stochastyczne równanie różniczkowe bazujące na równaniu Newtona. Zaproponowane zostało po raz pierwszy w 1906 roku przez Paula Langevina do opisu ruchów Browna.

Jego najprostsza postać to

$m \frac{\mathrm{d}^{2}\mathbf{x}(t)}{\mathrm{d}t^{2}} = - \gamma \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t} + F(x,t) + \Gamma(t),$

gdzie $\mathbf{x}(t)$ jest trajektorią śledzonej cząstki, $m$ to masa cząstki, $\gamma$ jest współczynnikiem tarcia, $F(x,t)$ oznacza deterministyczną zewnętrzną siłę mogącą działać w układzie. $\Gamma(t)$ jest losową składową siły, powstałą na skutek przypadkowych zderzeń śledzonej cząstki z cząstkami otaczającego środowiska. W klasycznym przypadku przyjmuje się, że $\Gamma(t)$ ma postać białego szumu.

Wiele ciekawych wyników można otrzymać bez konieczności rozwiązywania powyższego równania, opierając się na twierdzeniu fluktuacyjno-dysypacyjnym. Wartości średnie (np: prędkości) można otrzymać rozwiązując odpowiednie równanie Fokkera-Plancka opisujące ewolucję czasową gęstości prawdopodobieństwa.

Często stosowaną metodą wyznaczenia średnich, gdy nieznane są metody analityczne, jest numeryczna symulacja równania (czasami nazywane symulacjami Monte-Carlo.