Rozkład Laplace’a

Rozkład Laplace’a

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	$\mu \in \mathbb {R}$ wartość średnia $b>0$ parametru skali
Nośnik	$\mathbb {R}$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)$
Dystrybuanta	${\begin{cases}{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\text{dla }}x\leqslant \mu \\[8pt]1-{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\text{dla }}x\geqslant \mu \end{cases}}$
Wartość oczekiwana (średnia)	$\mu$
Mediana	$\mu$
Moda	$\mu$
Wariancja	$2b^{2}$
Współczynnik skośności	$0$
Kurtoza	$3$
Entropia	$\ln(2be)$
Funkcja tworząca momenty	${\frac {\exp(\mu t)}{1-b^{2}t^{2}}}{\text{ dla }}|t|<1/b$
Funkcja charakterystyczna	${\frac {\exp(\mu it)}{1+b^{2}t^{2}}}$
Odkrywca	Pierre Simon de Laplace

Rozkład Laplace’a – ciągły rozkład prawdopodobieństwa nazwany na cześć Pierre’a Laplace’a.

Rozkład Laplace’a nazywany jest także czasem dwustronnym rozkładem wykładniczym, gdyż powstaje podczas odejmowania dwóch rozkładów wykładniczych. Ściślej mówiąc, jeśli $X_{1},X_{2}$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym z parametrem $\lambda =1/b,$ to zmienna losowa

$\mu +X_{1}-X_{2}$

ma rozkład Laplace’a o średniej $\mu$ i czynniku skali $b$ .

Rozkład Laplace’a powstaje także, kiedy mnożymy zmienną o rozkładzie wykładniczym przez losowy znak. Dokładniej, jeśli $X$ ma rozkład wykładniczy z parametrem $\lambda =1/b,$ a $Y$ ma rozkład jednostajny na zbiorze $\{-1,1\}$ oraz zmienne $X,Y$ są niezależne, to zmienna $XY$ ma rozkład Laplace’a o średniej $0$ i skali $b$.

Zobacz też

• rozkład wykładniczy
• zmienna losowa

Bibliografia

• Rozkład Laplace’a. Michiel Hazewinkel (red.). w: Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers, 2001. ISBN 978-1556080104. (ang.).brak strony w książce
• Wojciech Niemiro, Symulacje stochastyczne i metody Monte Carlo, Uniwersytet Warszawski.