Rozkład beta

Rozkład beta

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	$\alpha > 0$ parametr kształtu (liczba rzeczywista) $\beta > 0$ parametr kształtu (liczba rzeczywista)
Nośnik	$x \in [0; 1]\!$
Gęstość prawdopodobieństwa	$\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!$
Dystrybuanta	$I_x(\alpha,\beta)\!$
Wartość oczekiwana (średnia)	$\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!$
Mediana
Moda	$\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\!$$\mbox{ dla }\alpha>1, \beta>1$
Wariancja	$\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!$
Współczynnik skośności	$\frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}$
Kurtoza	$6\,\tfrac{\alpha^3-\alpha^2(2\beta-1)+\beta^2(\beta+1)-2\alpha\beta(\beta+2)} {\alpha \beta (\alpha+\beta+2) (\alpha+\beta+3)}.\,\!$
Entropia	$\ln\mathrm{B}(\alpha,\beta)\;$$-(\alpha-1)\psi(\alpha)\;$$-(\beta-1)\psi(\beta)\;$$+(\alpha+\beta-2)\psi(\alpha+\beta)\;$
Funkcja generująca momenty	$1 +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}$
Funkcja charakterystyczna	${}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!$
Odkrywca	Corrado Gini (1911)

Rozkład beta – w statystyce i teorii prawdopodobieństwa ciągły rozkład prawdopodobieństwa dany funkcją gęstości zdefiniowaną na przedziale $[0, 1]$ wzorem

$f(x) = c_{\alpha, \beta} \cdot x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}$,

gdzie $\alpha, \beta > 0$ są parametrami rozkładu, zaś $c_{\alpha, \beta}$ jest pewną stałą zależną od $\alpha$ i $\beta$.

Jeśli rozwiniemy wzór ze względu na tę stałą, otrzymamy pełną postać funkcji gęstości rozkładu:

$f(x) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\int\limits_0^1~u^{\alpha-1} (1-u)^{\beta-1}\, du}$$= \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}$$= \frac{1}{\Beta(\alpha, \beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}$

gdzie $\Gamma$ oraz $\Beta$ to odpowiednio funkcja gamma i funkcja beta.

W specjalnym przypadku, kiedy $\alpha = \beta = 1$, rozkład beta przyjmuje postać standardowego rozkładu jednostajnego.

Momenty zwykłe zmiennej o rozkładzie beta wynoszą:

$\mathbb E(X^k) = \tfrac{\alpha(\alpha+1) \dots (\alpha+k-1)}{(\alpha+\beta)(\alpha+\beta+1) \dots (\alpha+\beta+k-1)}$.

Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu statystyki

Bibliografia

• Rozkład po raz pierwszy wprowadzony w pracy:

Corrado Gini: Considerazioni sulle probabilita a posteriori e applicazioni al rapporto dei sessi nelle nascite umane. Studi Economico-Giuridici della Universita de Cagliari, Anno III, 1911, s. 133-171.