Rozkład beta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Rozkład beta
Gęstość prawdopodobieństwa
{{{opis wykresu}}}
{{{opis wykresu}}}
Dystrybuanta
{{{opis wykresu dystrybuanty}}}
{{{opis wykresu dystrybuanty}}}
Parametry \alpha > 0 parametr kształtu (liczba rzeczywista)
\beta > 0 parametr kształtu (liczba rzeczywista)
Nośnik x \in [0; 1]\!
Gęstość prawdopodobieństwa \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!
Dystrybuanta I_x(\alpha,\beta)\!
Wartość oczekiwana (średnia) \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!
Moda \frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\!\mbox{ dla }\alpha>1, \beta>1
Wariancja \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!
Współczynnik skośności \frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}
Kurtoza 6\,\tfrac{\alpha^3-\alpha^2(2\beta-1)+\beta^2(\beta+1)-2\alpha\beta(\beta+2)}
{\alpha \beta (\alpha+\beta+2) (\alpha+\beta+3)}.\,\!
Entropia \ln\mathrm{B}(\alpha,\beta)\;-(\alpha-1)\psi(\alpha)\;-(\beta-1)\psi(\beta)\;+(\alpha+\beta-2)\psi(\alpha+\beta)\;
Funkcja tworząca momenty 1  +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}
Funkcja charakterystyczna {}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!
Odkrywca Corrado Gini (1911)

Rozkład beta – w statystyce i teorii prawdopodobieństwa ciągły rozkład prawdopodobieństwa dany funkcją gęstości zdefiniowaną na przedziale [0, 1] wzorem

 f(x) = c_{\alpha, \beta} \cdot x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1},

gdzie \alpha, \beta > 0 są parametrami rozkładu, zaś c_{\alpha, \beta} jest pewną stałą zależną od \alpha i \beta.

Jeśli rozwiniemy wzór ze względu na tę stałą, otrzymamy pełną postać funkcji gęstości rozkładu:

f(x) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\int\limits_0^1~u^{\alpha-1} (1-u)^{\beta-1}\, du} = \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} = \frac{1}{\Beta(\alpha, \beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}

gdzie \Gamma oraz \Beta to odpowiednio funkcja gamma i funkcja beta.

W specjalnym przypadku, kiedy \alpha = \beta = 1, rozkład beta przyjmuje postać standardowego rozkładu jednostajnego.

Momenty zwykłe zmiennej o rozkładzie beta wynoszą:

\mathbb E(X^k) = \tfrac{\alpha(\alpha+1) \dots (\alpha+k-1)}{(\alpha+\beta)(\alpha+\beta+1) \dots (\alpha+\beta+k-1)}.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Rozkład po raz pierwszy wprowadzony w pracy:
Corrado Gini: Considerazioni sulle probabilita a posteriori e applicazioni al rapporto dei sessi nelle nascite umane. Studi Economico-Giuridici della Universita de Cagliari, Anno III, 1911, s. 133-171.