Rozkład geometryczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Rozkład geometryczny
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
Geometricpdf.jpg
Dystrybuanta
Geometriccdf.jpg
Parametry 0< p \leq 1
prawdopodobieństwo sukcesu (liczba rzeczywista)
Nośnik k \in \{1,2,3,\dots\}\!
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa (1 - p)^{k-1}\,p\!
Dystrybuanta 1-(1 - p)^k\!
Wartość oczekiwana (średnia) \frac{1}{p}\!
Mediana \left\lceil \frac{-\log(2)}{\log(1-p)} \right\rceil\!
niejednoznaczna gdy
-\log(2)/\log(1-p)\in\mathbb{Z}
Moda 1\;
Wariancja \frac{1-p}{p^2}\!
Współczynnik skośności \frac{2-p}{\sqrt{1-p}}\!
Kurtoza 6+\frac{p^2}{1-p}\!
Entropia -\frac{1-p}{p}\log_2(1-p)-\log_2 p\!
Funkcja generująca momenty \frac{pe^t}{1-(1-p) e^t}\!
Funkcja charakterystyczna \frac{pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}\!
Odkrywca William Feller (1950)

Rozkład geometryczny jest dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa opisującym prawdopodobieństwo zdarzenia, że proces Bernoulliego odniesie pierwszy sukces dokładnie w k-tej próbie. k musi być liczbą naturalną dodatnią. Rozkład ten oznacza się zwykle symbolem Geo(p).

Zmienna losowa X ma więc rozkład Geo(p) jeśli

 P(X=k) = (1-p)^{k-1} p \,

Zauważmy, że jeśli X ma rozkład Geo(p), to P(X>k)=(1-p)^k. Zatem jej dystrybuanta jest zadana wzorem F_X(k) = P(X\leq k) = 1 - (1-p)^k dla liczb naturalnych k.

Uwaga: Niekiedy zamiast badać w której próbie odniesiemy pierwszy sukces, badamy ile prób z rzędu kończy się porażką. Wówczas tak zdefiniowane k jest o jeden mniejsze, więc we wszystkich wzorach należy dodać do niego 1.

Rozkład geometryczny to szczególny przypadek ujemnego rozkładu dwumianowego dla r = 1.

Ciągłym odpowiednikiem rozkładu geometrycznego jest rozkład wykładniczy.

Momenty[edytuj | edytuj kod]

Funkcja tworząca prawdopodobieństwo zmiennej losowej X o rozkładzie Geo(p) jest zadana wzorem

 f(t) = \sum_{k=1}^{\infty} t^k (1-p)^{k-1}p = \frac{p t}{1-(1-p)t}

Z tego otrzymujemy

 \mathrm{E}(X) = f'(1) = \frac{p}{(1-(1-p)t)^2}|_{t=1} = \frac{1}{p}

oraz

\mathrm{E}(X(X-1)) = f''(1) = \frac{2(1-p)}{p^2}

z czego otrzymujemy

\mathrm{var}(X) = f''(1) + f'(1) - (f'(1))^2  =  \frac{2(1-p)}{p^2} + \frac{1}{p} - \frac{1}{p^2} = \frac{1-p}{p^2}

Wyższe momenty główne m_k rozkładów Geo(p) mogą być wyznaczone za pomocą funkcji generującej momenty. Spełniają one następującą zależność rekurencyjną:

 m_{k+1} = (1-p)\left( \left(\frac{1}{p}+\frac{1}{1-p}\right)m_k - \frac{d m_k}{d p}\right)

Momenty centalne \mu_a rozkładów Geo(p) mogą być wyznaczone za pomocą funkcji generującej momenty centralne. Spełniają one następującą zależność rekurencyjną:

 \mu_{a+1} = (1-p)\left(\frac{a}{p^2} \mu_{a-1} - \frac{d \mu_a}{d p}\right)

Inne własności[edytuj | edytuj kod]

Rozkład geometryczny jest bezpamięciowym: jeśli X ma rozkład Geo(p) i k,l są liczbami naturalnymi, to

P(X>k+l|X>k) = \frac{P(X>k+l,X>k)}{(X>k)} = \frac{P(X>k+l)}{(X>k)} =

\frac{(1-p)^{k+l}}{(1-p)^k} = (1-p)^l = P(X>l)

Związki z innymi rozkładami[edytuj | edytuj kod]

  1. Jeśli X_1,\ldots,X_r są niezależne i mają rozkład Geo(p), to ich suma X_1+\ldots+X_r ma ujemny rozkład dwumianowy NB(r,p)
  2. Jeśli X_1,\ldots,X_r są niezależne i mają rozkład Geo(p) to zmienna losowa Y=\min(X_1,\ldots,X_r) ma rozkład geometryczny z parametrem 1-(1-p)^r

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]