Rozkład dwumianowy

Rozkład dwumianowy

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
Dystrybuanta Kolory odpowiadają wykresowi powyżej
Parametry	$n \geqslant 0$ liczba prób (liczba całkowita) $0\leqslant p \leqslant 1$ prawdopodobieństwo sukcesu (liczba rzeczywista)
Nośnik	$k \in \{0,\dots,n\}\!$
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa	${n\choose k} p^k (1-p)^{n-k} \!$
Dystrybuanta	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!$
Wartość oczekiwana (średnia)	$np\!$
Mediana	jedna z $\{\lfloor np\rfloor-1,$$\ \lfloor np\rfloor, \lfloor np\rfloor+1\}$
Moda	$\lfloor (n+1)\,p\rfloor\!$
Wariancja	$np(1-p)\!$
Współczynnik skośności	$\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}\!$
Kurtoza	$\frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}\!$
Entropia	$\frac{1}{2} \ln \left( 2 \pi n e p (1-p) \right)$$+ O \left( \frac{1}{n} \right)$
Funkcja generująca momenty	$(1-p + pe^t)^n \!$
Funkcja charakterystyczna	$(1-p + pe^{it})^n \!$
Odkrywca	George Udny Yule (1911)

Rozkład dwumianowy (w Polsce zwany też rozkładem Bernoulliego, choć w krajach anglojęzycznych termin Bernoulli distribution odnosi się do rozkładu zero-jedynkowego) to dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący liczbę sukcesów k w ciągu N niezależnych prób, z których każda ma stałe prawdopodobieństwo sukcesu równe p. Pojedynczy eksperyment nosi nazwę próby Bernoulliego.

Innym rozkładem, który opisuje ilość sukcesów w ciągu N prób, jest rozkład hipergeometryczny. W tym przypadku jednak próby nie są niezależne (próba bez zwracania).

Jeśli X ~ B(n, p) i Y ~ B(m, p) są dwiema niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie dwumianowym, wtedy ich suma X + Y jest zmienną losową o rozkładzie dwumianowym danym wzorem:

$B\left(n+m, p\right).$

W zależności od wartości parametrów rozkład dwumianowy można przybliżać innymi rozkładami:

• Jeśli zarówno np, jak i n(1 − p) są większe od 5, wtedy rozkład dwumianowy można przybliżać rozkładem normalnym:

$N\left(np, \sqrt {np\left(1-p\right)}\right).$

• Jeśli n jest duże, a p jest małe (czyli np ma umiarkowanie dużą wartość), dobrym przybliżeniem rozkładu dwumianowego jest rozkład Poissona z parametrem λ = np.

Zobacz też

• ujemny rozkład dwumianowy

Bibliografia

• Rozkład po raz pierwszy wprowadzony w pracy:

George Udny Yule: An Introduction to the Theory of Statistics. Londyn: Griffin, 1911.

Linki zewnętrzne

• Kalkulator online - Rozkład dwumianowy