Rozwinięcie Laplace’a

Rozwinięcie Laplace’a – wzór rekurencyjny określający wyznacznik $n$-tego stopnia macierzy kwadratowej o wymiarach $n \times n$. Wyznacznik $\det A$ macierzy $A_{n\times n}$ znajduje się z następującego wzoru:

$\det A = \sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}$

gdzie:

$i$ jest ustalone i określa wiersz macierzy, względem którego następuje rozwinięcie

$a_{ij}\;$ – element macierzy w $i$-tym wierszu i $j$-tej kolumnie

$A_{ij}\;$ – dopełnienie algebraiczne elementu $a_{ij}\;$ powstałe z przemnożenia czynnika $(-1)^{i+j}$ przez minor elementu $a_{ij}$

Prawa strona powyższego wzoru nazywana jest rozwinięciem względem $i$-tego wiersza. Można analogicznie sformułować wyznacznik poprzez rozwinięcie względem $j$-tej kolumny.

Twierdzenie Laplace’a pozwala obliczyć wyznacznik macierzy unikając korzystania z bardzo czasochłonnej metody opartej na definicji wyznacznika.

Przykład

Przy obliczaniu wyznacznika korzystamy z twierdzenia Laplace’a tak długo, aż uzyskamy macierze, których wyznaczniki można obliczyć wprost (drugiego, trzeciego stopnia). Dobrze jest przy tym skorzystać z faktu, iż dodanie lub odjęcie od dowolnego wiersza/kolumny innego wiersza/kolumny lub kombinacji liniowej tychże nie zmienia wartości wyznacznika i tym sposobem wyzerować jak najwięcej elementów pewnego wiersza/kolumny.

Obliczmy wyznacznik następującej macierzy czwartego stopnia:

$\ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 7 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

Wygenerujmy jak najwięcej zer w ostatnim wierszu (z wyjątkiem np. ostatniego wyrazu): dodajmy czwartą kolumnę do pierwszej oraz trzeciej, zaś odejmijmy ją od drugiej:

$\det A = \begin{vmatrix} 0+\color{Brown} 7 & 1-\color{Brown} 7 & 2+\color{Brown} \color{Brown} 7 & \color{Brown} 7 \\ 1+\color{Brown} 4 & 2-\color{Brown} 4 & 3+\color{Brown} 4 & \color{Brown} 4 \\ 5+\color{Brown} 8 & 6-\color{Brown} 8 & 7+\color{Brown} 8 & \color{Brown} 8 \\ -1+\color{Brown} 1 & 1-\color{Brown} 1 & -1+\color{Brown} 1 & \color{Brown} 1 \end{vmatrix}\ = \begin{vmatrix} 7 & -6 & 9 & 7 \\ 5 & -2 & 7 & 4 \\ 13 & -2 & 15 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & {\color{blue} 1} \end{vmatrix}$

Redukujemy w ten sposób wyznacznik macierzy czwartego stopnia do iloczynu skalara, oraz wyznacznika macierzy trzeciego stopnia. Stosując rozwinięcie Laplace’a względem czwartego wiersza (pamiętać należy o znakach wyliczanych minorów) dostaniemy:

$\det A = (-1)^{4+1} \cdot 0 \cdot \begin{vmatrix} -6 & 9 & 7 \\ -2 & 7 & 4 \\ -2 & 15 & 8 \end{vmatrix} + (-1)^{4+2} \cdot 0 \cdot \begin{vmatrix} 7 & 9 & 7 \\ 5 & 7 & 4 \\ 13 & 15 & 8 \end{vmatrix} + (-1)^{4+3} \cdot 0 \cdot \begin{vmatrix} 7 & -6 & 7 \\ 5 & -2 & 4 \\ 13 & -2 & 8 \end{vmatrix} + (-1)^{4+4} \cdot {\color{blue} 1} \cdot \begin{vmatrix} 7 & -6 & 9 \\ 5 & -2 & 7 \\ 13 & -2 & 15 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 7 & -6 & 9 \\ 5 & -2 & 7 \\ 13 & -2 & 15 \end{vmatrix}$

Zredukujmy raz jeszcze współczynniki macierzy kolumnowo – odejmijmy pierwszą od ostatniej, następnie trzecią dodajmy do drugiej:

$\det A = {\color{blue} 1} \cdot \begin{vmatrix} 7 & -6 & 9 \\ 5 & -2 & 7 \\ 13 & -2 & 15 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 7 & -6 & 2 \\ 5 & -2 & 2 \\ 13 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 7 & {\color{red} -4} & 2 \\ 5 & 0 & 2 \\ 13 & 0 & 2 \end{vmatrix}$.

Ponownie korzystamy z rozwinięcia Laplace’a, tym razem względem drugiej kolumny:

$\det A = (-1)^{1+2} \cdot ({\color{red} -4}) \cdot \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 13 & 2 \end{vmatrix} = 4 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 13 & 2 \end{vmatrix}$.

Z kolei zredukujemy współczynniki w ostatnim wierszu, odejmując pierwszy wiersz od drugiego:

$\det A = 4 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 13 & 2 \end{vmatrix} = 4 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ {\color{OliveGreen} 8} & 0 \end{vmatrix}$.

i po raz ostatni korzystamy z twierdzenia, tym razem rozwijając względem drugiego wiersza:

$\det A = 4 \cdot (-1)^{2+1} \cdot {\color{OliveGreen} 8} \cdot \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 4 \cdot (-1) \cdot 8 \cdot 2 = -64$.

Zobacz też

• macierz
• wyznacznik
• operator liniowy