Funkcja Γ

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Funkcja digamma)
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Wykres funkcji gamma

Funkcja gamma (zwana też gammą Eulera) – funkcja specjalna, która rozszerza pojęcie silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych. Gdy część rzeczywista liczby zespolonej z jest dodatnia, to całka (całka Eulera):

jest zbieżna bezwzględnie. Całkując przez części, można pokazać, że:

Zważywszy na to, iż Γ(1)=1, z powyższego wzoru wynika, że Γ(n+1)=n! dla wszystkich liczb naturalnych n.

Drugim sposobem określenia funkcji Γ (dla dowolnych liczb zespolonych) jest:

Możemy także określić odwrotność funkcji Gamma następująco (γ to stała Eulera-Mascheroniego):

Funkcja gamma nie ma miejsc zerowych.

Jest nieciągła w każdym punkcie całkowitym niedodatnim, przyjmując w tych punktach za granice lewostronne i prawostronne przeciwne nieskończoności[potrzebny przypis].

Własności funkcji Gamma[edytuj | edytuj kod]

Następujące dwa wzory zachodzą, jeśli mianownik jest niezerowy:

Jeśli to:

Jeśli to:

Wzór iloczynowy Gaussa:

Dla n całkowitych, dodatnich zachodzi:

gdzie oznacza tzw. silnię wielokrotną p-tą.

Wykres funkcji zespolonej[edytuj | edytuj kod]

Technika kolorowania dziedziny[edytuj | edytuj kod]

Kompletny wykres
Moduł
Argument
Część rzeczywista
Część urojona
Wykres funkcji zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny

Rzut przestrzenny modułu kolorowany argumentem[edytuj | edytuj kod]

x – część rzeczywista, oś y – część urojona, oś z – moduł wyniku, kolor – argument wyniku

Wybrane wartości funkcji Gamma[edytuj | edytuj kod]

jest to taki argument funkcji Γ, gdzie przyjmuje ona minimum lokalne dla x > 0,

Funkcja Γ(z) nie jest określona dla z = 0, -1, -2, ... (ma tam bieguny o residuum ).

Logarytmiczna pochodna funkcji gamma[edytuj | edytuj kod]

Wykres logarytmicznej pochodnej funkcji gamma

Można zdefiniować funkcję którą nazywamy logarytmiczną pochodną funkcji gamma albo funkcją digamma:

gdzie Zachodzą relacje (stała Eulera-Mascheroniego):

Ponadto dla dużych x można używać przybliżenia:

Funkcja poligamma[edytuj | edytuj kod]

Definiuje się także funkcję:

którą nazywamy funkcją poligamma n-tego rzędu. Wtedy funkcję digamma można zdefiniować w następujący sposób:

Funkcję nazywa się czasem funkcją trigamma lub trójgamma.

Funkcja i kilka pierwszych funkcji poligamma na płaszczyźnie zespolonej
(digamma)
(trigamma)
Wykresy funkcji zespolonej uzyskane techniką kolorowania dziedziny

Wykorzystanie[edytuj | edytuj kod]

  • Na funkcji gamma opiera się symbol Pochhammera[1].
  • Wzór na objętość n-wymiarowej hipersfery: [2].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Weisstein, Eric W., Pochhammer Symbol, mathworld.wolfram.com [dostęp 2018-01-21] (ang.).
  2. Weisstein, Eric W., Hypersphere, mathworld.wolfram.com [dostęp 2018-01-21] (ang.).

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]