Grupa Galileusza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Szczególna teoria względności
Sr1.svg
Zasada względności
Prędkość światła w próżni
Transformacja Lorentza

Transformacje Galileusza

zachowują strukturę czasoprzestrzeni Galileusza, tworzą one grupę Galileusza. Transformacje te są parametryzowane przez macierz obrotu , prędkość , translację w przestrzeni i czasie .

Macierze obrotu same tworzą grupę O(3), spełniają warunek zachowania długości wektora przy obrotach

Daje to warunek

gdzie macierz transponowana . Ponieważ macierz odwrotna spełnia , to dla grupy obrotów . W zbiorze macierzy ortogonalnych SO(3) istnieje element neutralny (macierz jednostkowa I), element odwrotny i mnożenie dwóch macierzy ortogonalnych jest macierza ortogonalną. Zbiór macierzy ortogonalnych tworzy grupę. Dodatkowy warunek definiuje podgrupę obrotów SO(3). Element grupy R można parametryzować w sposób ciagły przez trzy parametry (wektor , oś obrotu i kat obrotu ψ ).

.

Trzy macierze nazywamy generatorami grupy obrotów. Gropa obrotów SO(3) jest ciagłą grupą Liego

Podgrupą grupy Galileusza jest podgrupa właściwych transformacji Galileusza

Parametryzowana jest przez 7 parametrów: vektor v translację w przestrzeni i w czasie .

Podgrupą grupy Galileusza jest podgrupa translacji

Podgrupa ta parametryzowana jest przez cztery parametry.

Grupa Galileusza parametryzowana jest przez 10 ciagłych parametrów. Zgodnie z twierdzeniem Noether gdy grupa ta jest symetrią równań ruchu układu fizycznego odpowiada jej istnienie 10 odpowiednich praw zachowania (np. energii z translacji w czasie, pędu z translacji w przestrzeni, momentu pędu z symetrii obrotowej i pędu środka masy z transformacji własciwej generowanej przez v.

Zobacz też: Grupa Poincaré, Grupa Lorentza