Grupa Galileusza

Transformacje Galileusza

$x^{i}\rightarrow {x'}^{i}=R_{j}^{i}x^{j}+v^{i}t+x_{0}^{i},$

$t\rightarrow t'=t+t_{0}$

zachowują strukturę czasoprzestrzeni Galileusza, tworzą one grupę Galileusza. Transformacje te są parametryzowane przez macierz obrotu $R_{j}^{i},$ prędkość $v^{i},$ translację w przestrzeni $x_{0}^{i}$ i czasie $t_{0}.$

Macierze obrotu same tworzą grupę O(3), spełniają warunek zachowania długości wektora przy obrotach

$x^{i}\rightarrow {x'}^{i}=R_{j}^{i}x^{j},$

$\sum _{i}^{3}(x^{i})^{2}=\sum _{i}^{3}({x'}^{i})^{2}.$

Daje to warunek

$R^{T}R=I,$

gdzie macierz transponowana $(R^{T})_{j}^{i}=R_{i}^{j}.$

Ponieważ macierz odwrotna spełnia $R^{-1}R=I,$ to dla grupy obrotów $R^{-1}=R^{T}.$ W zbiorze macierzy ortogonalnych SO(3) istnieje element neutralny (macierz jednostkowa I), element odwrotny $R^{-1}R=I$ i mnożenie dwóch macierzy ortogonalnych jest macierzą ortogonalną. Zbiór macierzy ortogonalnych tworzy grupę. Dodatkowy warunek $\det(R)=1$ definiuje podgrupę obrotów SO(3). Element grupy R można parametryzować w sposób ciągły przez trzy parametry (wektor $\alpha ^{i}=\omega ^{i}\psi ,$ oś obrotu $\omega ^{i}$ i kąt obrotu $\psi$)

$R=e^{i\sum _{a}^{3}T^{a}\alpha ^{a}}.$

Trzy macierze $T^{a}$ nazywamy generatorami grupy obrotów. Grupa obrotów SO(3) jest ciągłą grupą Liego.

Podgrupą grupy Galileusza jest podgrupa właściwych transformacji Galileusza

$x^{i}\rightarrow {x'}^{i}=x^{i}+v^{i}t+x_{0}^{i},$

$t\rightarrow t'=t+t_{0}.$

Parametryzowana jest przez 7 parametrów: wektor v translację w przestrzeni i w czasie $T_{0}.$

Podgrupą grupy Galileusza jest podgrupa translacji

$x^{i}\rightarrow {x'}^{i}=x^{i}+x_{0}^{i},$

$t\rightarrow t'=t+t_{0}.$

Podgrupa ta parametryzowana jest przez cztery parametry.

Grupa Galileusza parametryzowana jest przez 10 ciągłych parametrów. Zgodnie z twierdzeniem Noether, gdy grupa ta jest symetrią równań ruchu układu fizycznego, odpowiada jej istnienie 10 odpowiednich praw zachowania np. energii z translacji w czasie, pędu z translacji w przestrzeni, momentu pędu z symetrii obrotowej i pędu środka masy z transformacji właściwej generowanej przez $v.$

Zobacz też

• grupa Lorentza
• grupa Poincarégo