Równanie różniczkowe Eulera

Równanie różniczkowe Eulera rzędu n – równanie różniczkowe postaci:

$a_{n}x^{n}y^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}...+a_{1}xy'+a_{0}y=f(x)\quad {}$ dla $a_{n}\neq 0,$

gdzie $a_{n},\dots ,$ $a_{0}$ są stałymi, a równanie jest liniowe względem $y$ i jego pochodnych.

Jeżeli $f(x)=0$ to równanie Eulera przyjmuje postać:

$a_{n}x^{n}y^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}...+a_{1}xy'+a_{0}y=0\quad {}$ dla $a\neq 0$

i nazywamy je równaniem jednorodnym.

Równanie różniczkowe Eulera można sprowadzić do równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach podstawieniem

$x=e^{t}$

${\frac {dx}{dt}}=e^{t}=x$

${\frac {dt}{dx}}=e^{-t}=x^{-1}$

Dla pierwszego składnika:

$x{\frac {dy}{dx}}=x{\frac {dy}{dt}}{\frac {dt}{dx}}=x{\frac {dy}{dt}}x^{-1}={\frac {dy}{dt}}$

Dla drugiego składnika:

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=x^{2}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)=x^{2}{\frac {dt}{dx}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}{\frac {dt}{dx}}\right)=e^{2t}e^{-t}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}e^{-t}\right)=e^{t}\left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}e^{-t}-{\frac {dy}{dt}}e^{-t}\right)={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-{\frac {dy}{dt}}$

Dla pozostałych obliczenia wyglądają analogicznie.

Weźmy równanie

$a_{2}x^{2}y^{(2)}+a_{1}xy^{(1)}+a_{0}y=f(x)$

Połóżmy

$y(x)=u(\ln(|x|))$

$a_{2}x^{2}\left(u^{(2)}\cdot {\frac {1}{x^{2}}}-u^{(1)}\cdot {\frac {1}{x^{2}}}\right)+a_{1}xu^{(1)}\cdot {\frac {1}{x}}+a_{0}u=f(x)$

$a_{2}u^{(2)}-a_{2}u^{(1)}+a_{1}u^{(1)}+a_{0}u=f(x)$

$a_{2}u^{(2)}+(a_{1}-a_{2})u^{(1)}+a_{0}u=f(x)$

A to jest już równanie liniowe o stałych współczynnikach

Znajdujemy pierwiastki równania charakterystycznego, następnie uzmienniamy stałą, rozwiązując układ z macierzą Wrońskiego

Przykład

$x^{3}y^{(3)}-x^{2}y^{(2)}-2xy^{(1)}+6y=0$

$y(x)=u(\ln {|x|})$

$-u^{(2)}\cdot 3/x^{3}x^{3}\left(u^{(3)}\cdot {\frac {1}{x^{3}}}-u^{(2)}\cdot {\frac {1}{x^{3}}}+u^{(1)}\cdot {\frac {2}{x^{3}}}\right)-x^{2}\left(u^{(2)}\cdot {\frac {1}{x^{2}}}-u^{(1)}\cdot {\frac {1}{x^{2}}}\right)-2xu^{(1)}\cdot {\frac {1}{x}}+6y=0$

$u^{(3)}-3u^{(2)}+2u^{(1)}-(u^{(2)}-u^{(1)})-2u^{(1)}+6u=0$

$u^{(3)}-4u^{(2)}+u^{(1)}+6u=0$

$\lambda ^{3}-4\lambda ^{2}+\lambda +6=0$

$(\lambda +1)\cdot (\lambda -2)\cdot (\lambda -3)=0$

$u=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{3x}$

$y=C_{1}\cdot {\frac {1}{x}}+C_{2}\cdot x^{2}+C_{3}\cdot x^{3}$