Problem Dirichleta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Problem Dirichleta polega na znalezieniu funkcji harmonicznej dla danego obszaru z danymi wartościami na brzegu. Problem ten został po raz pierwszy postawiony przez Lejeune'a Dirichleta dla równania Laplace'a.

Przykład - Równanie struny skończonej przymocowanej do ruchomego końca[edytuj]

Rozważmy problem Dirichleta dla równanie falowego opisujący strunę zamocowaną pomiędzy ścianami na stałe do jednego koṅca z drugim koṅcem poruszającym się liniowo tzn. równanie d’Alemberta na trójkątnym obszarze iloczynu kartezjańskiego czasu i przestrzeni:

Jak łatwo sprawdzić przez podstawienie rozwiązaniem równania z pierwszym warunkiem jest

Chcemy ponadto

Podstawiając

otrzymujemy warunek samopodobieństwa

gdzie

Spełnia go np. funkcja złożona

z

więc w ogólności

gdzie jest funkcją periodyczną z okresem

i otrzymujemy więc ogólne rozwiązanie


Zobacz też: Warunki brzegowe