Problem Dirichleta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Problem Dirichleta polega na znalezieniu funkcji harmonicznej dla danego obszaru z danymi wartościami na brzegu. Problem ten został po raz pierwszy postawiony przez Lejeune’a Dirichleta dla równania Laplace’a.

Przykład – Równanie struny skończonej przymocowanej do ruchomego końca[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy problem Dirichleta dla równanie falowego opisujący strunę zamocowaną pomiędzy ścianami na stałe do jednego koṅca z drugim koṅcem poruszającym się liniowo, tzn. równanie d’Alemberta na trójkątnym obszarze iloczynu kartezjańskiego czasu i przestrzeni:

Jak łatwo sprawdzić przez podstawienie rozwiązaniem równania z pierwszym warunkiem jest

Chcemy ponadto

Podstawiając

otrzymujemy warunek samopodobieństwa,

gdzie:

Spełnia go np. funkcja złożona

z więc w ogólności

gdzie jest funkcją periodyczną z okresem

i otrzymujemy więc ogólne rozwiązanie

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]