Warunek brzegowy Dirichleta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Warunek brzegowy Dirichleta - typ warunku brzegowego, znany także jako warunek pierwszego rodzaju, używanym w teorii równań różniczkowych zwyczajnych lub cząstkowych. Polega on na założeniu, że funkcja będąca rozwiązaniem danego problemu musi przyjmować określone, z góry zadane wartości na brzegu dziedziny. Nazwa pochodzi od matematyka P. Dirichleta (1805-1859)[1].

Jeżeli dla równania różniczkowego (zwyczajnego lub cząstkowego) stawiamy warunek brzegowy Dirichleta (na całym brzegu), to mówimy o zagadnieniu (problemie) Dirichleta.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Równania różniczkowe zwyczajne[edytuj | edytuj kod]

Dla równania różniczkowego zwyczajnego II-ego rzędu:

gdzie niewiadoma funkcja jest określona na dziedzinie , (formalnie: , warunek brzegowy Dirichleta ma postać

gdzie oraz danymi liczbami.

Równania różniczkowe cząstkowe[edytuj | edytuj kod]

Typowym przykładem jest zagadnienie Dirichleta dla równania Laplace'a. Dany jest obszar . Szukamy rozwiązania , które jest ciągłe w domknięciu , klasy C2 w , spełnia równanie

gdzie oznacza operator Laplace'a (laplsjan) oraz warunek brzegowy

gdzie jest daną funkcją określoną na brzegu, . Zazwyczaj obie relacje (równanie i warunek brzegowy) zapisuje się w standardowej notacji matematycznej w jednym miejscu, często dodając klamry, aby podkreślić, że obie zależności muszą być spełnione:[2]

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Warunki brzegowe pełnią ważną rolę w opisie zjawisk fizycznych. Wybór warunków zależy od sposobu prowadzenia doświadczenia i kontroli jego parametrów.

  • Na przykład przy opisie zjawisk rozchodzenie się „ciepła” (ściślej należałoby mówić o transporcie energii wewnętrznej) przyjęcie warunku brzegowego Dirichleta oznacza, że kontrolujemy temperaturę na brzegu obiektu (jest on w kontakcie z rezerwuarem „ciepła” na tyle dużym, ze jego temperatura jest stała, a brzeg na tyle dobrze przewodzi, że ta na nim jest ta sama temperatura).
  • W elektrostatyce, gdzie często szukaną funkcją jest potencjał elektryczny , warunek Dirichleta oznacza taką sytuację doświadczalną, w której potencjały są zadane (np. na powierzchni przewodnika).[3]
  • W teorii sprężystości warunek Dirichleta oznacza jakie jest przemieszczenie na brzegu. Na przykład belka zamocowana na brzegu będzie miała ustaloną pozycję dla punktów brzegowych.
  • W mechanice płynów często przyjmuje się, że na brzegu cząsteczki cieczy się nie poruszają (warunek no-slip). Dla cieczy lepkiej podczas przepływu, na powierzchni ciała stałego płyn ma zerową prędkość względem tego brzegu, .

Inne warunki brzegowe[edytuj | edytuj kod]

Możliwe są inne warunki na brzegu, na przykład warunek brzegowy Cauche'ego (jest to raczej warunek początkowy, ale z punktu widzenia ogólnej teorii warunków brzegowych rozróżnienie na warunki początkowe i brzegowe jest tylko wygodną konwencją. Warunki początkowe są specjalnymi warunkami brzegowymi, ale w zagadnieniach w których występuje czas) czy warunek brzegowy Neumanna.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Cheng, A. and D. T. Cheng (2005). Heritage and early history of the boundary element method, Engineering Analysis with Boundary Elements, 29, 268–302.
  2. Paweł Strzelecki, Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych, Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego, (2006), s. 42.
  3. David J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, Wydawnictwo Naukowe PWN, (2005), Rozdz. 3.