Wzór Bineta

Wzór Bineta – wzór na tor ruchu w polu sił centralnych.

Ma postać:

${\frac {d^{2}}{d\phi ^{2}}}\left({\frac {1}{r}}\right)+{\frac {1}{r}}=-{\frac {mr^{2}}{L^{2}}}F(r),$

gdzie:

$L$ – moment pędu,

$r,$ $\phi$ – współrzędne biegunowe,

$m$ – masa,

$F(r)$ – siła w zależności od odległości.

Wyprowadzenie

We współrzędnych biegunowych:

$\mathbf {r} =r\mathbf {\hat {e_{r}}}$

oraz:

$\mathbf {\dot {r}} ={\frac {dr}{dt}}\mathbf {\hat {e_{r}}} +r{\frac {d\phi }{dt}}\mathbf {\hat {e_{\phi }}}$

Korzystając z reguły łańcuchowej otrzymujemy:

${\frac {\operatorname {d} \!r}{\operatorname {d} \!t}}={\frac {\operatorname {d} \!r}{\operatorname {d} \!\phi }}\cdot {\frac {\operatorname {d} \!\phi }{\operatorname {d} \!t}}$

oraz wiemy, że moment pędu w polu centralnym jest zachowany i równy:

$L=mr^{2}{\frac {\operatorname {d} \!\phi }{\operatorname {d} \!t}}$

Zatem stosując powyższe wzory i pochodną odwrotności otrzymujemy:

$\mathbf {\dot {r}} ={\frac {L}{m}}\left[-{\frac {d}{d\phi }}\left({\frac {1}{r}}\right)\mathbf {\hat {e_{r}}} +{\frac {1}{r}}\mathbf {\hat {e_{\phi }}} \right]$

Różniczkując drugi raz i stosując podobne przekształcenia otrzymujemy:

$\mathbf {\ddot {r}} =-{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}\left({\frac {d^{2}}{d\phi ^{2}}}\left({\frac {1}{r}}\right)+{\frac {1}{r}}\right)\mathbf {\hat {e_{r}}}$

Widzimy, że zgodnie z naszymi oczekiwaniami człon zależny od wersora φ został wyzerowany. A zatem po zastosowaniu II Zasady Dynamiki Newtona dochodzimy do końcowego wzoru:

${\frac {d^{2}}{d\phi ^{2}}}\left({\frac {1}{r}}\right)+{\frac {1}{r}}=-{\frac {mr^{2}}{L^{2}}}F(r)$

gdzie siłę F wyrażamy następująco:

$\mathbf {F} =F(r)\mathbf {\hat {e_{r}}} .$

Bibliografia

• http://www.fuw.edu.pl/~krolikow/fizyka1/v4_ruch_polach_zachowawczych.pdf
• YAN Kun(2005). The general expression of Binet equation about celestial bodies motion orbits(Approximate solutions of Binet equation for celestial bodies motion orbits in the weak and strong gravitational field) DOI:10.3969/j.issn.1004-2903.2005.02.052.